信号与系统教案第4课时.ppt

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1、第四章连续系统的频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。引言时域分析中，将任意信号分解成冲激函数的加权积分；变换域分析中，将任意信号分解成虚指数函数的加权积分；将任意信号表示为不同频率正弦分量的线性

2、组合称为信号的频谱分析；用频谱分析的观点来分析系统称为系统的频域分析法或傅里叶变换分析法。引言本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。主要内容（1）掌握周期信号的傅里叶级数展开；（2）掌握信号频谱的概念，了解实信号频谱的特点；（3）掌握傅里叶变化及其基本性

3、质；（4）掌握系统对信号响应的频域分析方法；（5）掌握系统的频域传输函数的概念；（6）掌握理想低通滤波器特性；（7）掌握线性系统的不失真传输条件；（8）掌握连续信号的理想取样模型及抽样定理。本章教学基本要求4.1信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而yf(t)=h(t)*f(t)。本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，把任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。矢量Vx=(vx1,v

4、x2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定义：其内积为0。即由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个正交矢量集。例如对于一个三维空间的矢量A=(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量集{vx，vy，vz}分量的线性组合表示。即A=vx+2.5vy+4vz矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。4.1信号分解为正交函

5、数二、信号正交与正交函数集1.定义：定义在(t1，t2)区间的两个函数1(t)和2(t),若满足(两函数的内积为0)则称1(t)和2(t)在区间(t1，t2)内正交。2.正交函数集：若n个函数1(t)，2(t)，…，n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。4.1信号分解为正交函数3.完备正交函数集：如果在正交函数集{1(t)，2(t)，…，n(t)}之外，不存在函数φ(t)(≠0）满足则称此函数集为完备正交函数集。例如：三角函数集{1，cos(n

6、Ωt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}和虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。(i=1，2，…，n)4.1信号分解为正交函数三、信号的正交分解设有n个函数1(t)，2(t)，…，n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为f(t)≈C11+C22+…+Cnn如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。通常使误差的方均值(称为均方误差)最小

7、。均方误差为4.1信号分解为正交函数为使上式最小展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为即所以系数4.1信号分解为正交函数代入，得最小均方误差在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有4.1信号分解为正交函数上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和4.1信号分解为正交函数三角函数的傅里叶级数函数

8、的对称性与傅里叶级数的关系指数函数形式的傅里叶级数两种傅里叶级数的关系4.2傅里叶级数是一个完备的正交函数集由积分可知1.三角函数集一、傅里叶级数的三角形式4.2傅里叶级数{cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=0,1,2…}2.级