一维势垒散射知识讲解.ppt

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1、一维势垒散射7.1.1分波包的自相关7.1波包的反射和透射系数公式考虑不对称的一维势，这给出了哈密顿量和势能函数图7.1是波包分开的过程。A表示波包从左边入射，在这里定义t趋向于负无穷时刻入射，这使得入射波包只含有动量大于零的成分。为了方便，书上把入射方向的称为反应物，把出射方向的成为生成物。在图7.1中，波包的平均能量要小于势垒能量的最大值。在经典力学中，入射粒子将会被完全反射，而在量子中，波包将会分开，一部分被反射，一部分被透射。b图是碰撞过程，碰撞之后波包分开，如图c所示。在这里我们定义碰撞之前即t=0时刻，入射波包接近势垒但只含有动量大于零的平

2、面波成分。t=T时刻，波包完全被分开，定义在生成物这边的几率波幅为，在生成物这边的为，得到下面这几幅是波包在动量表示中的图，和坐标表示一一对应。同理可得到7.5式中的交叉项消失，我们可以定性的理解为这些函数在坐标和动量空间处于不同的区域，它们没有重叠项。我们把归一化的条件运用到7.2式，得到通过分离透射和反射波包，构造它们各自的自相关函数，傅立叶变换，得到反射和透射波包的光谱设在上述推导中，第一步和最后一步用到了自相关函数的性质习题6.25同样，这里的交叉项。也就说即使随时间向后扩散，它也不可能与有重叠项。在出射时刻两个波包正交，不管以后波包怎样随时间

3、演化，两个波包还是正交，同理，若入射时刻两个波包正交，则它们的正交性不变。对7.7式两边进行傅立叶变换上式两边同时除以，得到这时，定义反射系数和透射系数7.9式也说明粒子要么反射要么透射，只有这两种情况a为入射波包，反射波包和透射波包的自相关函数b为三个波包的光谱图7.1.2分波包在平面波上的投影我们继续讨论波包分开的过程，根据波包在平面波上的投影给出反射和透射系数的另一种表达式。要做这个计算首先用到能量归一平面波。可以根据动量归一平面波得到能量归一平面波。现在我们从平面波的动量归一定义开始。动量归一化与能量归一化平面波既然有了自由粒子薛定谔方程，我们

4、可以得出它们的解方程的解已由表格7.1给出，满足归一化条件利用函数的性质事实上，我们所说的动量归一化，是用k代替了p。为了得到光谱项的表达式，应该用能量表示类似的，我们也可以得到势垒右边的能量归一化波函数。为了确定完整性，在能量归一化波函数中，我们需要考虑处于能量E时，有两个动量+k三个光谱的投影首先考虑入射波包的光谱公式为入射波包，是入射波包的能量光谱。这个式子中最重要的点是用代替。我们知道在散射过程中入射波包的自相关函数在有限的时间内一定会衰退为零，尽管有一些特例，比如共振，衰退时间会延长，但在散射过程中也是有限的。对于时间零点时刻的转换自相关函数

5、不变。我们可以选取时间为负无穷远为时刻零点，这样在波包到达相互作用势之前入射波包的相关函数已衰退为零。借助这种时间变换，在反应物区域相关函数就已经完全被确定，因此在传播中可以用代替。应该指出对于入射波包，态是完备的，得到，这里，用到了7.14式，而且入射波包在态上没有投影。现在考虑反射波包的能级光谱。它的导出与入射波包的能级光谱相似，我们也用代替，这时候取T为波包分开后足够长时间的时刻。最后考虑透射波包的能级光谱反射和透射系数现在，计算反射和透射系数。将上述得到的入射光谱，反射和透射光谱代入到反射和透射系数公式，得到7.25中，反射系数和透射系数是渐进

6、波包和在能量归一化的自由粒子本征态的投影，由入射波包，处于能量E的波函数进行归一化。根据在k归一本征态的投影比率，7.25式可表示成上述公式用到了7.13式和等。这些表达式给出了反射系数和透射系数的关系，以及和的关系，其中是波包和在动量空间的表示，可由傅立叶变换得到。在透射系数公式中出现了因子，我们也可以从物理的角度来理解，在能量E时，相应的态密度为和利用这个关系，7.26式也可表示成，7.2势垒散射的交叉相关函数公式和S-矩阵7.2.1波包的相关矩阵在上述过程，我们从入射波包的扩散得出反射和透射系数。如果入射波包从相反方向入射，那透射系数和反射系数还

7、满足上述的简单关系吗？答案是肯定的。从两个方向入射时，透射系数仍相等，并且也同样成立。所以反射系数公式也相等（对于在渐进区域能量处于一定的范围内的波包是成立的）为了推导出这个结果，在散射过程中可以引入更为对称的方法。我们定四个基本波包和，其中表示势垒左边的区域，表示势垒右边的区域，角标+表示t小于零时刻波包的入射，角标-表示t大于零时刻波包从势垒的出射。因此，这四个基本波包分别表示从左边入射到左区域，出射到左区域，从右边入射入射到有区域和出射到右区域的波包，如图7.47.28式说明入射波包和出射波包是归一化的。7.29式说明两个入射波包正交，两个出射波

8、包正交。严格的证明在后面会讲到。现在，我们可以通过图7.5进行简单的解释。图7.5是一维势的等