概率空间随机变量培训讲学.ppt

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1、概率空间随机变量§1概率空间随机变量例3向实数轴（0，1）区间上随意地投掷一个点。在（0，1）区间中的每一个点是一个基本事件，而所有点的集合(即（0，1）区间)构成一个样本空间。抽象地说，样本空间是一个点的集合，此集合中每个点都称为样本点。样本空间记为Ω={w}，其中w表示样本点。这里大括号表示所有样本点构成的集合。样本空间的某些子集称为事件。从数学观点看，要求事件（样本点的集合）之间有一定的联系，亦即对事件需要加一些约束。§1概率空间随机变量定义设样本空间的某些子集构成的集合记为F，如果满足下列性质：(1)Ω∈F；(2)若A∈F，则=Ω-A∈F；(3)若Ak∈F，k=1,2，…，则∈F那么称

2、F是一个波雷尔（Borel）事件域，或σ事件域。波雷尔事件域中每一个样本空间Ω的子集称为一个事件。特别指出，样本空间Ω称为必然事件，而空集Ф为不可能事件。§1概率空间随机变量在上面三个样本空间的例子中，每一个样本点都是基本事件。但是，一般并不要求样本点必须是基本事件。在例1中共有两个样本点：“正面”，“反面”。作F={正面或反面，正面，反面，空集}，它构成一个波雷尔事件域，其中每一个元素都是一个事件。需要说明，F表达式中的花括号，是指事件的集合。在例2中共有六个样本点，记wi为出现“i点”的样本点，i=1,2,3,4,5,6。作§1概率空间随机变量它构成一个波雷尔事件域。这里每一对小括号表示它

3、所包含的样本点的集合。F中每一元素（即w1,w2,…,w6或每一对小括号表示的样本点集合）是一个事件。在例3中，做F1={(0,1)区间中任意子集}。F1构成一个波雷尔事件域，其中每一个元素是一个事件。再构造另一个波雷尔事件域。若取即G是(0,1)区间中所有的左开右闭区间有限和集构成的集类。集类是指以点集作为元素的集合。显然G不具有波雷尔事§1概率空间随机变量件域的第三条性质，这是因为G中可列无限个元素之和，也可以是无限多个左开右闭区间之和，这种和不再是G中的元素，因而G不是波雷尔事件域。记F2是包含G的最小的波雷尔事件域。数学上可以证明F2与F1并不重合，而F2中的元素比F1少。波雷尔事件域

4、F2中的每一个元素都是事件。需要指出，在上面的三个例子中，四个F有三个取为样本空间Ω中任意子集全体构成的波雷尔域，因而样本空间的任意一个子集都是事件。但是F还可以选Ω的一部分子集构成一个波雷尔事件域，如例3中的F2。又如在例1中取F={Ω,Ф}，这种F也构成波雷尔事件域。此时只有两个事件，但这样取F的实际意义不大。§1概率空间随机变量二、概率的公理化定义在概率论中曾提及概率的统计定义和古典概率定义。概率的统计定义与大量重复试验相联系。古典概率定义要求样本空间由N个等可能的基本事件构成，具有一定的局限性。现在介绍一种概率的抽象的数学定义——公理化定义。这种定义是从一些具体的概率定义（如概率的统计

5、定义，古典概率定义等）抽象出来的，同时又保留了具体概率定义中的一些特征。事件的概率是对应于波雷尔事件域F中每一个Ω的子集的一个数，即可以看成集合函数。§1概率空间随机变量概率的公理化定义：设P(A)是定义在样本空间Ω中的波雷尔事件域F上的集合函数。如果P(A)满足（1）对任一A∈F，有；（2）；（3）若A1,A2,…两两不相交，即则那么称P是波雷尔事件域上的概率。§1概率空间随机变量在例1中定义P(A)=k/2，其中k是事件A包含的样本函数，k=0,1,2，那么P是概率。另外，如果定义P(正面)=11/12，P(反面)=9/20，P(正面或反面)=1，P(空集)=0，这样定义的P也是概率。在例

6、2中定义P(A)=k/6，其中k是事件A包含的样本点数，k=0,1,2,3,4,5,6，那么P是概率。在例3中考虑波雷尔事件域F2，数学上可以证明在F2上存在一个集合函数P，满足概率公理化定义在的三个条件，且对，有，其中，两两不相交（显然A是G中元素），所以这个F2上的集合函数P是概率。此概率表示集构成的波雷尔事件域，数学上已经证明并不存在的F1上的集§1概率空间随机变量合函数P，对上述事件A有，且满足概率公理化定义中的三个条件。对随机试验E而言，样本空间Ω给出它的所有可能的实验结果，F给出了由这些可能结果组成的各种各样事件，而P给出每一事件发生的概率。(Ω,F,P)称为概率空间。三、随机变量

7、及其概率分布在随机试验中，若存在一个变量，它依试验出现的结果改变而取不同的数值，则称此变量为随机变量。由于随机试验出现的结果带有随机性，因而随机变量的取值也带有随机性。从数学角度看，样本空间Ω中每一个样本点w（试验可能结果）对应有一个数X(w)，这就是随机变量；或者说随机变量是定义在样本空间Ω上的函数。但是，对这个函数需要有一些要求。§1概率空间随机变量定义:设X=X(w)是定义在样本空间Ω上的函