第35课时2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义.ppt

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1、平面向量的数量积的物理背景及其含义向量的夹角两个非零向量a和b，作，，则叫做向量a和b的夹角．OABabOABba若，a与b同向OABba若，a与b反向OABab若，a与b垂直，记作复习回顾物理中功的概念θsF一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？其中力F和位移s是向量，功是数量.是F的方向与s的方向的夹角。平面向量数量积的物理背景问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；平面向量的数量积的定义说明：已知两个非零向量

2、a和b，它们的夹角为，我们把数量叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即（2）a·b中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不能写成a×b，a×b表示向量的另一种运算（外积）．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．（1）问题3：向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的结果有什么不同？实数同向量积的线性运算的结果是向量两向量的数量积是一个实数，是一个数量问题4：影响数量积大小的因素有哪些？这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。夹角的范围正负0数量积符号由cos的符号所决定平面向量的数量积的运算性质问题5：设a与b都是非

3、零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？a⊥ba·b＝0问题6：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱；当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱；a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝.问题7：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？︱a·b︱≤︱a︱︱b︱问题8：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？（３）a·b≤

4、a

5、·

6、b

7、.（１）a⊥ba·b=0.(判断两向量垂直的依据)特别地，（２）当a与b同向时，a·b＝

8、a

9、·

10、b

11、；当a与b反向时，a·b＝

12、－

13、a

14、·

15、b

16、.（４）平面向量的数量积的运算性质设向量a、b为两非零向量，e是与b同向的单位向量：例1.已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×＝9平面向量数量积的几

17、何意义向量a在b方向上的投影是什么？投影一定是正数吗？

18、b

19、cosθ叫向量b在a方向上的投影．，过点B作垂直于直线OA，垂足为，则

20、b

21、cosθOABab︱a︱cosθ说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABabBOAabOABabθ为锐角时，

22、b

23、cosθ＞0θ为钝角时，

24、b

25、cosθ＜0θ为直角时，

26、b

27、cosθ=0当=0时投影为

28、b

29、当=180时投影为-

30、b

31、.问题4：根据投影的概念，数量积a·b=︱a

32、︱b︱cosθ的几何意义是什么？数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方

33、向上的投影︱a︱cosθ的乘积.练一练：类比实数的乘法运算律：数量积的运算律：关于向量的数量积运算：平面向量的数量积运算律数量积运算不满足乘法结合律。交换律：分配律：思考１：a·b与b·a相等吗？为什么？思考２：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c表示什么意义？(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为什么？思考３：对于向量a，b，c，(a＋b)·c表示什么意义？它与a·c＋b·c相等吗？为什么？问题９:我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)如图可知：练习：√×××××√3

34、．若a≠0，a·b=0，则b=02．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=0．4．若a·b=0，则a·b中至少有一个为0．5．若a≠0，a·b=b·c，则a=c6．若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立．7．对任意向量a有小　结1.向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.2.实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非.3.常用︱

35、a︱＝求向量的模.常用　　　　　　求向量的夹角.2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义