2021届高中数学必做黄金100题26 利用导数研究函数的最值与极值题（原卷版）.docx

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1、第26题利用导数研究函数的最值与极值一．题源探究·黄金母题（I）求函数的极值；（II）求函数在上的最大值与最小值．【试题来源】（I）人教版A版选修2-2P28例4；（II）人教版A版选修2-2P30例5．【母题评析】求函数的极值及函数在闭区间上的最值是高中数中常见的一类典型问题，本题考查了如何利用导数求函数的极值及最值．【思路方法】一、求函数极值的一般步骤：（1）求函数的定义域；（2）求；（3）求方程的根；（4）检查在方程的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个

2、根处取得极小值．二、求函数在上的最大值与最小值的一般步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．二．考场精彩·真题回放【2020年高考北京】已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．【命题意图】本类题通常主要考查利用导数求函数的极值及函数在闭区间上的最值．【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题、填空题或解答题，难度中等；若为压轴题，则难度大．【学科素养】数学运算【难点

3、中心】（1）可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．（2）若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．三．理论基础·解题原理考点一利用导数研究函数的极值与最值设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法．考点二已知函数极值（最值）情况求参数的值或取值范围先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或参变分

4、离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的．四．题型攻略·深度挖掘【考试方向】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想．含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一．这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等．考向1利用导数求函数的极值已知函数f(x)=x(lnx-ax)，(a?

5、R)．（I）若a=0时，求函数f(x)的最小值；（II）若函数f(x)既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．【温馨提醒】本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力．导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题；(4)考查数形结合思想的应用．考向2利用

6、导数求函数的最值【2016高考浙江理数】已知，函数F（x）=min{2

7、x−1

8、，x2−2ax+4a−2}，其中min{p，q}=（I）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在区间[0，6]上的最大值M（a）．【温馨提醒】（I）根据的取值范围化简，即可得使得等式成立的的取值范围；（II）（i）先求函数和的最小值，再根据的定义可得；（ii）根据的取值范围求出的最大值，进而可得．考向3已知函数极值（最值）情况求参数的值或取值范围已知函

9、数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【温馨提醒】本题主要考查了函数的极值以及零点，已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．五．限时训练*提升素养1.（2020·古丈县）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立

10、的是A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值2.（2020·江西省）设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为（）A．B．C．D．3.（2020·江西南昌）若函数恰有三个极值点，则的取值范围是（）A．B．C．D．4.（2020·霍邱县）已知函数若，则的最大值为（）A．B．C．D．5.若函数f（x）＝x3﹣3x在区间