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1、页眉§2数集.确界原理(一)教学内容：实数的区间与邻域；集合的上、下界，上确界和下确界；确界原理难点：上、下确界定义的理解、数集确界的证明二)教学目的：1）正确使用区间和邻域概念，掌握集合的有界性的证明；2）初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。（三）基本要求：1）掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；2）能用定义证明集合A的上确界为．即：xA有x，且0,x0A,使得x0．(三)教学建议：(1)此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明具体集合的
2、确界的习题．(2)此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题．一区间与邻域:区间邻域设a与是两个实数，且0，称点集E{x
3、
4、xa
5、}为点a的邻域，记作U(a)aaax.称点集U(a){x
6、axa}{x
7、axa}为点a的去心邻域0记作U(a)aaax1/4页眉a的右邻域U(a){x
8、axa}0a的右空心邻域U(a){x
9、axa}a的左邻域U(a){x
10、axa}0a的左空心邻域U(a){x
11、axa}邻域U(){x
12、
13、x
14、M}邻域U(){x
15、xM}邻域U(){x
16、xM}二有界数集.确界原理:1.有界数集
17、:定义(上、下有界,有界)设S为实数R上的一个数集，若存在一个数M（L）,使得对一切xS都有xM(xL)，则称S为有上界(下界)的数集。若集合S既有上界又有下界，则称S为有界集。例如，区间[a,b]、(a,b)(a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，集合Eyysinx,x(,)也是有界数集.无界数集:若对任意M0，存在xS,
18、x
19、M，则称S为无界集。例如，(,),(,0),(0,)，有理数集等都是无界数集,1例1证明集合Eyy,x(0,1)是无界数集.x11证明：对任意M0,存在x(0,1),yE,yM1MM1x由无界集定义，
20、E为无界集。y1M+1yxM1xM12/4页眉确界，先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界，记作supS；上确界M上界M1M2同样，有下界数集有无穷多个下界，称最大下界为该数集的下确界，记作infS。下确界m2m1m下界精确定义定义2设S是R中的一个数集，若数满足以下两条：（1）对一切xS有x，即是数集S的上界；（2）对任意0，存在x0S使得x0（即是S的最小上界），则称数为数集S的上确界。记作supSSx0定义3设S是R中的一个数集，若数满足以下两条：（3）对
21、一切xS有x，即是数集S的下界；（4）对任意0，存在x0S使得x0（即是S的最大下界），Sx0则称数为数集S的下确界。记作infSn(1)例2（1）S1,则supS______,infS_______.n（2）Eyysinx,x(0,).则3/4页眉supE________,infE_________.注1由确界定义，若数集S的上（下）确界存在，则一定是唯一的，且infSsupS注2由上面例子可知，数集S的确界可以属于S，也可以不属于S。例3设数集S有上确界，证明supSmaxS证明（略）定理1.1(确界原理).设S为非空数集
22、，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。证明不妨设S包含非负数，S有上界存在自然数n，使得1）xS,xn1；2）存在aS,an00在[n,n1)内作10等分，分点分别为：n.1,n.2,,n.9存在自然数n1使得11）xS,xn.n1;2）存在a1S,a1n.n110⋯⋯⋯⋯11）xS,xn.n1n2nkk;2）存在akS,akn.n1n2nk10按上述办法无限作下去，得到实数n.n1n2nk，可以验证supS。例4设A和B是非空数集.若对xA和yB,都有xy,则有supAinfB.证xA和yB,都有xy,y
23、是A的上界,而supA是A的最小上界supAy.此式又supA是B的下界,supAinfB（B的最大下界）例5A和B为非空数集,SAB.试证明:infSmininfA,infB.证xS,有xA或xB,由infA和infB分别是A和B的下界,有xinfA或xinfB.xmininfA,infB.即mininfA,infB是数集S的下界,infSmininfA,infB.又SA,S的下界就是A的下界,infS是S的下界,infS是A的下界,infSinfA;同理有infSinfB.于是有infSmininfA,infB.综上,有i
24、nfSmininfA,infB.4/4
