数列求和7种方法(方法全,例子多).pdf

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1、页眉数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求

2、和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.n(a1an)n(n1)1、等差数列求和公式：Snna1d22na1(q1)n2、等比数列求和公式：Sna1(1q)a1anq(q1)1q1qnn1213、Snkn(n1)4、Snkn(n1)(2n1)k12k16n3125、Snk[n(n1)]k12123n[例1]已知log3x，求xxxx的前n项和.log231/191页眉11解：由log3xlog3xlog32xlog23223n由等比数列求和公式得Snxxxx（利用常用公式）11n(1)nx(1

3、x)221＝＝＝1－n1x1212*Sn[例2]设Sn＝1+2+3+⋯+n，n∈N,求f(n)的最大值.(n32)Sn111解：由等差数列求和公式得Snn(n1)，Sn(n1)(n2)（利用常用公式）22Snn∴f(n)＝2(n32)Sn1n34n64111＝＝648250n34(n)50nn81∴当n，即n＝8时，f(n)max8502/192页眉ｎ题1.等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2－１，则＝22232题2．若1+2+⋯+(n-1)=an+bn+cn，则a=,b=,c=.3/193页眉解：原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和

4、公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.23n1[例3]求和：Sn13x5x7x(2n1)x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①n1n1解：由题可知，{(2n1)x}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{x}的通项之积234n设xSn1x3x5x7x(2n1)x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.②（设制错位）234n1n①－②得(1x)S12x2x2x2x2x(2n1)x（错位相减）nn11xn再利用等比数列的求和公式得：(1x)Sn12x(2n1)x1x4/194页眉n1n(2n1)x(2n1)x(

5、1x)∴Sn2(1x)2462n[例4]求数列,,,,,前n项的和.23n22222n1解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积nn222462n设S⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①n23n222212462nS⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②（设制错位）n234n1222221222222n①－②得(1)S（错位相减）n234nn1222222212n2n1n122n2∴S4nn12练习题1已知，求数列｛an｝的前n项和Sn.答案：5/195页眉练习题2的前n项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时

6、所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).012nn[例5]求证：Cn3Cn5Cn(2n1)Cn(n1)2012n证明：设SnCn3Cn5Cn(2n1)Cn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..①把①式右边倒转过来得nn110Sn(2n1)Cn(2n1)Cn3CnCn（反序）mnm又由CnCn可得6/196页眉01n1nSn(2n1)Cn(2n1)Cn3CnCn⋯⋯⋯⋯..⋯⋯..②01n1nn①+②得2Sn(2n2)(CnCnCnCn)2(n1)2（反序相加）n∴Sn(n1)222222[例6]求sin1sin2

7、sin3sin88sin89的值22222解：设Ssin1sin2sin3sin88sin89⋯⋯⋯⋯.①将①式右边反序得22222Ssin89sin88sin3sin2sin1⋯⋯⋯⋯..②（反序）22又因为sinxcos(90x),sinxcosx1①+②得（反序相加）2222222S(sin1cos1)(sin2cos2)(sin89cos89)＝89∴S＝44.5题1已知函数7/197页眉（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，8/198页眉两式相加得：9/

8、199页眉所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类