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《线性代数课后习题解答第五章习题详解.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章相似矩阵及二次型1．试用施密特法把下列向量组正交化：111111011(1)(a1,a2,a3)124；(2)(a1,a2,a3)101139110解(1)根据施密特正交化方法:111b1,a2b1,a3b2,a31令b1a11，b2a2b10，b3a3b1b22，b1,b1b1,b1b2,b2311111132故正交化后得:(b1,b2,b3)10．31113(2)根据施密特正交化方法:1110b1,a213b1,a3b2,a313令b1a1;b2a2b1,b3a3b1b21b1,b132b1,b1b2,b25311411135301故正交化后得5(b1,b2,b3)2313514
2、1352．下列矩阵是不是正交矩阵？并说明理由:11184123999(1)11;(2)814．12299911447132999解(1)第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．(2)该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．TT3设x为n维列向量xx1令HE2xx证明H是对称的正交阵证明因为TTTTTTTH(E2xx)E2(xx)E2(xx)TTTTE2(x)xE2xx.所以H是对称矩阵因为TTTHHHH(E2xx)(E2xx)TTTTE2xx2xx(2xx)(2xx)TTTE4xx4x(xx)xTTE4xx4xxE所以H是正交矩阵4．设A与B都是n阶正交阵，证明AB也是正交阵
3、．1T1T证明因为A,B是n阶正交阵，故AA，BBTTT11(AB)(AB)BAABBAABE故AB也是正交阵．5．求下列矩阵的特征值和特征向量:123a111(1);(2)213;(3)a2,(0).a1a2ana124336an并问它们的特征向量是否两两正交?11解(1)①AE(2)(3).故A的特征值为12,23．24②当12时,解方程(A2E)x0,由11111(A2E)~得基础解系P122001所以k1P1(k10)是对应于12的全部特征值向量．当23时,解方程(A3E)x0,由12121(A3E)~得基础解系P2221001所以k2P2(k20)是对应于33的全部特征向量．1T
4、3③[P1,P2]P1P2(1,1)2021故P1,P2不正交．123(2)①AE213(1)(9).336故A的特征值为0,1,9．123②当10时，解方程Ax0，由.1231231A213~011得基础解系P113360001故k1P1(k10)是对应于10的全部特征值向量.当21时,解方程(AE)x0，由2232231AE223~001得基础解系P213370000故k2P2(k20)是对应于21的全部特征值向量当39时，解方程(A9E)x0，由1823111211A9E283~01得基础解系P3223330001故k3P3(k30)是对应于39的全部特征值向量．112TT1③[P1
5、,P2]P1P2(1,1,1)10，[P2,P3]P2P3(1,1,0)0，20112T1[P1,P3]P1P3(1,1,1)0，所以P1,P2,P3两两正交．212a1a1a2a1an2AEa2a1a2a2annn1a2a2a2(3)=(12n)2ana1ana2ann1222(a1a2an)n22221a1a2anai,23n0i1n2当1ai时，i1222a2a3ana1a2a1an222a2a1a1a3ana2anAE222ana1ana2a1a2an1.an00a1初等行变换0an0a2~00anan10000取xn为自由未知量，并令xnan，设x1a1,x2a2,xn1an1.
6、a1a2故基础解系为P1an当0时，23n2a1a1a2a1an初等行变换a1a2an2a2a1a2a2an000A0E~2ana1ana2an000a2a2ana100可得基础解系P20,P3a1,,Pn000a1a1a2ana2a10综上所述可知原矩阵的特征向量为P1,P2,,Pnan0a1T6设A为n阶矩阵证明A与A的特征值相同证明因为TTT
7、AE
8、
9、(AE)
10、
11、AE
12、
13、AE
14、TT所以A与A的特征多项式相同从而A与A的特征值相同7设n阶矩阵A、B满足R(A)R(B)n证明A与B有公共的特征值有公共的特征向量证明设R(A)rR(B)t则rtn若a1a2anr是齐次方程组Ax0的基础解系
15、显然它们是A的对应于特征值0的线性无关的特征向量类似地设b1b2bnt是齐次方程组Bx0的基础解系则它们是B的对应于特征值0的线性无关的特征向量.由于(nr)(nt)n(nrt)n故a1a2anrb1b2bnt必线性相关于是有不全为0的数k1k2knrl1l2lnt使k1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr0记k1a1k2a2knranr(l1b1l2b2lnrbnr)则k1k2knr不全为0否则l1l2
