高等数学-第三章-泰勒公式-同济大学ppt课件.ppt

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1、泰勒公式本节要点我们将引入具有阶导数的函数的泰勒展开式,并给出相应的拉格朗日型余项和佩亚诺型余项.利用阶的泰勒公式给出函数在特定点的近似估计.最后利用佩亚诺型余项去求某些复杂函数的极限.一、问题的提出由拉格朗日中值定理,若并且当很小或上式是用一次多项式来近似表达一个函数,但缺点是时,有不能具体估计误差的大小,并且在近似估计时精度不够高.设函数在含的开区间内有直到阶导数,来近似表示并给出误差的具体表达式.为了使所求出的多项式与函数在数值与性质方面吻合得更好,进一步要求在点处的函数值以⑴我们的目的是用一个关于的多项式及它的阶导数值与在

2、处的函数值以及它的阶导数值分别相等.即⑵因将代入上式,得于是有⑶上式称为函数的阶泰勒多项式.例1求在处的1阶和2阶泰勒多项式.解因故而1阶泰勒多项式为:2阶泰勒多项式为:我们将的图象作一个比较.图中显示的情况说明,2阶泰勒多项式比1阶泰勒多项式的近似程度要好.二、泰勒中值定理定理如果函数在含的某个开区间内具有直到阶导数,即那么对于⑷有这里,是与之间的某个值.其中⑸注公式⑷称为在处关于的阶泰勒当时,泰勒公式即为拉格朗日中值公式:所以,泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.公式,而⑸称为拉格朗日型余项.分析用的泰勒多项式近似表示时,其

3、误⑹在公式⑶中,取若记则差为如果对于某个固定的当时,则有由此得到近似计算公式:上式称为函数的阶麦克劳林多项式.而相应的误⑻差估计式为⑺例2求出函数的阶麦克劳林展开式.解因所以:代入⑹式,得因而相应的近似表达式为当时,相应的误差估计式为如果取即得到的近似表达式:例3求在解因处的三阶泰勒展开式.所以例4求出函数的阶麦克劳林展开式.解因所以由公式⑹得其中当取或则可以得到的3次与5次近似多项式:相应的误差分别为利用Mathematica可以做出函数与其近似多项式的图形.从图中可以看到,与其泰勒多项式随着的增大而越来越贴近.常见函数的麦克劳

4、林展开式:其中其中其中因当时,余项是比高阶的无从而⑷式改变为⑼称为带佩亚诺型余项的泰勒展开式.更有下面的.穷小,即⑼有定理2如果函数在含的某个开区间内具有直到阶的导数,且则常见函数带有佩亚诺型余项的麦克劳林展开式:例5求极限解分别写出的二阶带佩亚诺型余项由此得到的泰勒展开式:所以例6求极限解由展开式:所以又故所以例7求极限解令则所以再由泰勒公式:此时上式为故原极限为