(完整版)第13讲：奔驰定理.doc

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1、奔驰定理---【A】知识点(1)奔驰定理（点P在三角形ABC内部）(2)奔驰定理（点P在三角形ABC外部）(3)推论ⅰ、点P是三角形ABC的重心（三边中线的交点）ⅱ、点P是三角形ABC的内心（三个角平分线的交点）ⅲ、点P是三角形ABC的垂心（三条高线的交点）ⅳ、点P是三角形ABC的外心（三边中垂线的交点）1【B】例题讲解例1、设G是ABC的重心，且(56sinA)GA(40sinB)GB(35sinC)GC0，则角B的大小为_______例2、若点O在ABC的内部，且OA3OC

2、5OB0，则ABC的面积与AOC的面积之比是________.例3、若点O在ABC的内部，且OA2OBmOC0，SSAOBABC47，则实数m=_________.例4、（2016清华大学自主招生）若点O在ABC的内部，SAOB:SBOC:SAOC4:3:2,设AOABAC，则实数=_____，=_____.例5、（2018绍兴高三5月卷15）已知ΔABC的外接圆的圆心为O，且∠A=60，若AO=αAB+βAC(α,β∈R)，则α+β的最大值是______

3、____2【C】能力提升1、已知ABC中，I为内心，AC2,BC3,AB4,且AIxAByAC,则，则xy的值为______.2、设P是ABC所在平面上一点，且满足3PA4PCmAB,(m0)，若ABP的面积为8，则ABC的面积是_______.3、在ABC中，AB4,AC3,BC2,H为ABC的垂心，AHxAByAC，则y=______.x4、(齐鲁名校协作体)已知G是ABC的重心，点M,N分别在边AB,AC上，满足AGxAMyAN

4、,xy1，若AM3AB,4则ABC和AMN的面积之比是____________.5、正三角形ABC内一点M，满足CMmCAnCB，MCA45，则m=______________.n6、(吉林实验中学高三四模)已知ABC的外接圆O的半径为1，且BOBABC，若ABC60，则的最大值是________.37、(2018高一数学竞赛)已知点O是锐角ABC的外心，A3，且OAxOByOC，则2xy的取值范围是_______________.【D】三角形四心问题补充1、已知点O是AB

5、C所在平面内一点，满足

6、OA

7、2

8、BC2

9、

10、OB

11、2

12、CA2

13、

14、OC

15、2

16、AB2

17、,则点O是ABC的_____心。2、已知点O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(

18、ABAB

19、

20、ACAC),

21、[0,)，则点P的轨迹通过ABC的______心3、已知点O是ABC所在平面内一点，动点P满足：OPOA(

22、AB

23、ABsinABC

24、AC

25、ACsinACB),其中(0,),则动点P的轨迹一

26、定通过ABC的______心。4、已知点O是ABC所在平面内一点，动点P满足：OPOA(

27、AB2

28、ABsinABC

29、AC2

30、ACsinACB),其中(0,),则动点P的轨迹一定通过ABC的______心。5、已知向量OA,OB,OC满足条件：uuuruuuruuurOAOBOCr0，且

31、OA

32、

33、OB

34、

35、OC

36、2，点P是ABC内一动点，则ABAPBCBPCACP__________4