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1、2.3二次函数与一元二次方程、不等式一元二次函数、方程和不等式一二一、一元二次不等式的概念1.从未知数的个数以及未知数的最高次数看,不等式x2-2x-3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特点?提示:它们只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2.一二2.填空一元二次不等式的概念及形式(1)概念:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.(2)形式:①ax2+bx+c>0(a≠0);②ax2+bx+c≥0(a≠0);③ax2+bx+c<0(a≠0);④ax2+bx+c≤0(a≠0).(3)解集:一般地,使某个一元
2、二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.一二3.做一做已知下列不等式:①ax2+2x+1>0;②x2-y>0;③-x2-3x<0;④>0.其中是一元二次不等式的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:①中当a=0时,它不是一元二次不等式;②中有两个未知数,它不是一元二次不等式;③是一元二次不等式;④是分式不等式.答案:A一二二、一元二次不等式的解法1.(1)什么叫二次函数y=ax2+bx+c的零点?零点是点吗?提示:把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.零点不是点,是一个实数.零点就是
3、函数对应方程的根.(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.当x为何值时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0.上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);当05时,y>0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x>0.一二(3)对任意的一元二次不等式,求解集的关键点有哪些?提示:①抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置情况,也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况;②抛物线y=ax2+bx+c的开口方向,
4、也就是a的正负.(4)抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的相关位置有哪些情况?如何用一元二次方程来说明这些位置关系?提示:抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴可能有两个交点(相交),一个交点(相切),没有交点(相离).可以通过对应一元二次方程的判别式Δ与0的关系来判断.一二2.填空一二3.做一做(1)不等式x2-2x>0的解集是.(2)不等式x2+3x+6<0的解集是.答案:(1){x
5、x>2或x<0}(2)⌀探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练一元二次不等式的求解例1解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;(3)4x2-4x+1≤
6、0;(4)x2-2x+2>0.分析:先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.探究一探究二探究三探究四思维辨析随
7、堂演练变式训练1解下列不等式:(1)4x2-20x<-25;(2)(x-3)(x-7)<0;(3)-3x2+5x-4<0;(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀.(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x
8、30,由于判别式Δ=25-48=-23<0,函数y=3x2-5x+4的图象开口向上
9、,所以不等式的解集是R.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练已知不等式的解集求参数值例2求实数a,b的值,使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别为:(1)[-1,2];(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);(3)[-1,+∞).分析:根据解一元二次不等式的方法,逆向分析与思考,得出不等式对应方程根的情况,利用根与系数的关系进行求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟1.一元二次不等式的解集的端点就
