[转]60°--70°--20°问题的几种解法

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1、[转]600–700–200问题的几种解法[作者已删除]Ver1.0CEDAB在△ABC中,ACBC,=C80,=BAE70,=ABD60,求=AED.1声　　明(1)本文为转载,原文为关于最近吧里最火的题，我总结了一下。1,作者@慕野清流2.这里整理了原贴中的几种方法,然后进行排版.还有一些方法这里没有写出,具体请查看原贴.警告:不要挖坟.(2)制作本文的主要目的是练习使用XLEATEX和Asymptote.如果有需要,可以找我要本文的源代码.邮箱:478265087@qq.com(不服你来打我呀)(3)由于没有找到全等于符号

2、0xE2898C的命令,本文使用“”代替之^_^1http://tieba.baidu.com/p/22860785282http://tieba.baidu.com/home/main?un=%E6%85%95%E9%87%8E%E6%B8%85%E6%B5%81&ie=utf-8&fr=pb&ie=utf-8CEDFOAB图1[方法一]如图1,过D作DF{{AB交BC于F,连结AF.记AF与BD的交点为O,连结OC.去证△DAB△FBApSASq,然后依次可证AFCF,△DFO为正三角形和△CFO△AFEpAASq,OFEF,D

3、FEF,=FDE=FED.最后在△DEF中求出=AED.2CFEDHGAMB图2[方法二]如图2,过点C作CFKAE于F,以点B为圆心,BA为半径作dB,记dB与AC交于G,与BC交于H.可以证明F在AE的延长线上,G在线段AD上,H在线段BE上(这句话可以无视,实际做题的时候谁会这么严格?).记AB的中点为M,连结CM.显然△AMC△CFApAASq,从而依次可证CE2CF2AMABBH,△CED△BHDpSASq,DEDH,=DEH=DHE.可求出=ABG20,然后依次得△BGH为正三角形,=DGH40,=DB

4、G=BDG,DGBGHG,=HDG=DHG.至此可依次求出=DHG,=DHE,=AED.3CEDFABG图3[方法三]如图3,以BC为边向左下方作正△BCF,以EF为边向右下方作正△EFG,连结AF,DF,AG.容易证明CDBD,于是有△CFD△BFDpSSSq,从而可依次求出=CFD,=FDA,再由ACFC可求出=FAC,然后依次得到FAFD和=DFA,=AFB,△AEC△FABpASAq,AEAF,△AEG△AFGpSSSq,=EGA=FGA30.然后由=FAC依次求出=FAE,=AFE,=AFG和=AEG,=

5、DFE,△AFG△DFEpSASq,=FED,=AED.4Cgc1b1Ed1qb3Da3c2d2b2a2b2a1b1AaB图4[方法四]作为一个不玩竞赛的普通学生,加辅助线的那些技巧我早就忘了.在我残存的高中阶段的记忆中,与三角形最接近的东西,应该是正弦定理和余弦定理了(向量?只记得内积空间里好像有这东西,所以算了吧).所以这里按两种思路,用正弦定理给出解法.与前面不同,这里将给出具体的化简和变形过程.当然,请先熟悉相关的公式,除了诱导公式,二倍角公式,降幂公式,和差化积与积化和差以外,这里还用到了一次sin3a3sina
4sin3a三

6、倍角公式可自行推导.为了使书写容易(排版少码字),这里按图4所示给一些角和线段起名字.5先把需要的式子弄出来(为了节省版面,我把两个公式写在一行):sina1sinb3sina1ùñc2a(1)c2asinb3sina3sinb1sinb1ùñb2a(2)ab2sina3sinpa1a2qsingsinpa1a2qùñc1c2a(3)c1c2asingsinpb1b2qsingsinpb1b2qùñb1b2a(4)b1b2asingsina2sinqsina2ùñd1b2(5)d1b2sinqsinpb1

7、b2qsinb3sinpb1b2qùñd2a(6)d2asinb3sinp
pa2qqsinqsinpa2qqùñd2b2(7)d2b2sinq然后有以下两种思路.1)由(1),(3)式得
sinpa1a2qsina1c1
a(8)singsinb3由(2),(4)式得
sinpb1b2qsinb1b1
a(9)singsina3由余弦定理得bd1b2c2
2b1c1cosg(10)11由(5),(8),(9),(10)式消去a,并将各个角的具体度数代入,得sin600sin100{sin400sinqb(11

8、)A2A2
2A1A2cos20012其中sin800sin600sin800sin700A1sin200
sin400;A2sin200
sin300:容易