数学建模思维方法论_李以渝

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1、第23卷第5期大学数学Vol.23,№.52007年10月COLLEGEMATHEMATICSOct.2007数学建模思维方法论李以渝(四川工程职业技术学院,德阳618000)[摘要]数学建模过程是一个复杂的思维过程,全国大学生数学建模竞赛又加以竞赛的形式,有其特殊性,其中如何研究问题、如何做出成果、如何争取获奖,本文探讨其思维规律、方法技巧.[关键词]数学模型;建模竞赛;方法论[中图分类号]O29[文献标识码]B[文章编号]1672-1454(2007)05-0124-051思维过程数学建模的思维过程顺序展开是:熟悉问题※分析问题※寻找思路※建立模型※求

2、解模型※结果分析.1.1熟悉问题选好题目后,需要迅速弄清问题、熟悉问题,有下述两个要求与方法.1.1.1情况清楚方法是“回到实际”.例如对于2003年“SARS的传播”问题,一边阅读问题、资料,一边回忆2003年春(4～6)几个月北京等地SARS的实际传播情况、政府采取措施情况等等.常需要到有关部门去实际调查.1.1.2概念清楚题目中必然涉及一些复杂概念,必须讨论、理解清楚.例2002年“赛程安排问题”,其中“各队每两场比赛中间隔的场次数的上限”,究竟什么意思,会有不同理解.熟悉问题、概念清楚,是分析问题、解决问题的基础.1.2分析问题1.2.1因素分析可

3、用鱼翅图法将问题涉及的因素整理、分析.如对于2001年“公交车调度”,关于“行车因素”有到站时间、停车时间、行车时间、行车周期等;类似“乘客因素”、“车站因素”等,也分别有若干子因素.因素分析的要点,一是“条分缕析”:理清各因素之间的逻辑关系,包括纵向关系与横向关系;二是“数学处理”:即每个因素怎么看待、怎么处理,如确定是常量还是变量、有什么约束等等.还需要抓住特殊因素、关键因素.1.2.2目标分析由题目要求入手进行目标分析.如“公交车调度”的目标具体是“发车时刻表”的制定、“需多少车”的计算、“公司与乘客双方利益”的分析,如“煤矸石堆积”,作目标分析如下

4、:煤矸石数量堆积方式征地费堆积面积地价、涨幅征地方式总费用(1)运输方式运输路程耗电费机械效率电价[收稿日期]2005-11-22第5期李以渝:数学建模思维方法论1251.2.3优化分析大学生数学建模竞赛题目最多的要求是“优化”,于是基于因素分析、目标分析需要作优化分析:什么因素可以运筹优化?如何优化?如上例,“总费用”如何优化?具体优化什么?通过分析发现,“耗电费用”其实是常量,而关键因素、可运筹因素是“征地方式”可以运筹优化.于是各种因素可以区分为“硬约束”与“软约束”两类.如上例,煤矸石年产量、堆积形状与体积、每年用地量、每年耗电量等等都是确定的、都

5、是“硬约束”,而“征地方式”可各种各样是“软约束”.我们总结出一条基本方法:数学建模优化=硬约束计算+软约束优化1.3寻找思路数学建模的首要难点是寻求、确定研究思路、研究方向.这也是数学建模区别与通常解数学题的一个特点.因为对同一问题,不同的研究目的、研究思路会有不同的数学模型、有不同的结果.如何寻找思路?如“从关键因素”出发,例如“煤矸石堆积”,基于问题分析、认识深入,紧紧抓住“征地方式”进行试算;又如“回到实际”从实际中来确定研究方向.如2003年“SARS传播”,其困难在影响因素多、因素间关系复杂、并已有较高起点(已有一个模型)等等.那么一个重点是确

6、定研究方向,仅仅像已有模型作已知数据的拟合、预测,难于深入、难于有较高价值.“回到实际”,以2003年上半年实际情况,寻求研究目的,即由SARS的特殊性(如防控的主要手段是隔离措施),从众多影响因素中着重研究“控前时间”(相应有警戒等级).这就得出一个式子:“实际情况+实际意义=研究方向”.再如“参考资料”,数学建模重要的一环是查资料,寻找类似的问题、相关的理论等.例如对2004年“饮酒驾车问题”,容易查到人体对药物吸收的基本理论与模型.1.4建立模型接下来沿研究的方向、思路如何“走下去”,其关键是寻找方法,用合适的方法实现思路与研究目标.1.4.1基本方

7、法抓住问题的特点,从平时准备的基本方法中寻找合适的方法.①优化问题,最常用的是规划方法包括线性规划与各种非线性规划,其中又常用“0-1规划”,如2005年“DVD租赁”;②有时间因素,考虑用微分方程(组)或偏微分方程;③微分方程是作事物机理分析所谓“白箱法”,相对有事物现象分析所谓“黑箱法”,如回归分析、相关分析、聚类分析等;④随机因素突出,用概率与统计方法;⑤此外还常用图论方法、计算机模拟、数据处理等方法.其中常用模拟方法,例如“DVD租赁”对于顾客“租-还DVD”可作计算机随机模拟.事物有规律、有相似,可“套用例子”、“套用方法”.1.4.2特殊方法解

8、决复杂问题,往往需要有些“谋略”,如常采取化简、转化等方法,以分类