近现代几何学发展和其对探究生数学教学若干启示

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1、近现代几何学发展和其对探究生数学教学若干启示　　摘要文章简要叙述了十九世纪和二十世纪几何学的重要发展发展，总结其中的重要思想方法特点。结合几何发展的特点，指出其中的某些思想对于研究生数学教育的若干启示。关键词微分几何代数几何拓扑指标理论中图分类号：G643文献标识码：ATheDevelopmentofModernGeometryandSeveralInspirationfortheGraduateStudents’mathematicsTeachingLIMing（SchoolofMathematicsandStatistics，ChongqingUniversit

2、yofScienceandTechnology，Chongqing，400054）AbstractBrieflydescribethe19thand20thcenturyimportantdevelopmentofgeometry，andsummarizethecharacteristicsoftheimportantthoughtmethod.Combinedwiththegeometriccharacteristics，pointoutthatsomeoftheseideasareprovidedfortheinspirationofgraduates’10ed

3、ucationinmathematics.Keywordsdifferentialgeometry；algebraicgeometry；topology；indextheory0引言数学的发展历史蕴含了该学科的十分重要的思想方法。特别是十九世纪以来，数学得到了蓬勃的发展。这其中，几何学的发展尤为显著，发展方式和思想方法具有一定的代表性。当前国内数学研究生的教育方面，有若干基本的困难。首先是学生学习兴趣缺失，学习动力不足；其次是部分学生对于数学的了解不足，认为数学仅仅是在大学阶段所学知识的简单推广，对数学理解较为狭隘；而另一部分学生的学习方法特别是思想方法方面有一定的

4、局限性。结合研究生教学的具体工作特点，在适当的时候介绍数学发展的关键时期形成的思想方法和数学中的重要问题对于解决上述问题有一定的帮助。1十九世纪的几何学十九世纪前半叶是几何学的复兴时期。从坐标几何出发，不使用微积分方法，直接研究几何对象，导致了代数几何的建立。这一时期，几何学家重视发现普遍原理，以及各种原理的广泛联系。这种思想贯穿了几何学今后的发展，可以认为是数学的二次抽象。10这个时期几何学所蕴含的思想，对于一般的数学工作者都有指导作用。特别对于有志于从事数学研究的学生，通过观察几何学在低靡时期的发展，一方面可锻炼数学思维能力，另一方面可培养其在研究工作上坚韧的态

5、度。十九世纪后半叶，几何学在其自身的各个分支都有重大突破。1.1非欧几何与Erlanger纲领这些工作可以说是在几何学最早的两种思想的指导下，几何的新发展。一是《几何原本》中的逻辑推理，另外就是射影几何产生的变换思想和不变量的观点。Gauss，Lobatchevsky和Bolyai给出了不需要《几何原本》中第五公设的独立的几何体现。Klain的Erlanger纲领则将综合几何的研究抽象为某种变换群作用下不变量的研究。当变换群有不同的代数结构时，则产生相应的几何学，这中间就包括了Euclid几何，射影几何和非欧几何。1.2微分几何的独立微积分产生后的微分几何仅仅是微积

6、分的应用，没有独立的涵义。Gauss的曲面论建立了曲面的第一基本形式的几何，即内蕴几何。这代表着微分几何有着独立的意义。Riemann随后将该理论推广到高维空间，并给出了Riemann曲率的概念，这就是Riemann几何。10Gauss和Riemann的工作对于数学研究有非常重要的启示。Gauss的曲面论是在其主持天文台时期做大地测量时建立的。可认为是应用数学成功的典范，可作为大学数学建模课程的典型案例。对于引导学生养成在解决实际问题时建立抽象数学理论的习惯。Riemann的工作则是在数学上的进一步发展，其中包含了大量的计算。Riemann的工作表明数学上的重大发展

7、除了思想正确外，是建立在辛勤工作的基础之上的。1.3代数几何纷繁复杂这一时期代数几何发展集中在研究代数不变量和双有理变换。代数几何呈现出方法众多，语言差异很大的面貌，使得不同方法的使用者之间难易交流。但正是这种特点反映出代数几何的重要性，并暗示着其在数学中的主导地位。1.4组合拓扑学从17世纪Euler关于闭凸多面体的Euler公式起，到Mobius关于闭曲面的分类工作，直至Riemann在复分析中关于Riemann面的工作，为组合拓扑学的发展奠定了基础。Poincare的位置分析是对上述工作的系统发展，奠定了拓扑学的基本研究方向：同调论和同伦论。他的思想决定了