电大学2006-2007学年第1学期《通信原理》期末考试试题及答案.pdf

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1、04116~118第一周作业（9月18号交作业）1．冲激函数的定义是这样的：设函数vx()在x=0处连续且有界。若对于任意这样的函数∞vx()，函数gx()都能满足∫−∞vxg()(x)dx=v(0)。则称此gx()为单位冲激函数。一∞jx2πy般记为δ(x)。请证明：∫edx=δ(y)。−∞sinπx2．函数sinc的定义是sinc()x@，证明：lim⎡⎣aasinc(x)⎤⎦=δ(x)。πxa→∞⎧−11xx≤3．设函数gx()定义为gx()=⎨。今有信号st()，已知其功率谱密度的表达⎩0

2、else∞gf()−n2式为Pfs()=∑n。求st()的功率、3dB带宽、主瓣带宽、90%功率带宽。n=−∞24．已知信号zt()的傅氏变换Z(f)是一个实函数，且∀fZ<=0,(f)0。(1)证明zt()的虚部Im{zt()}不可能恒为0；(2)若还已知zt()的实部是t的偶函数，证明其虚部必为奇函数。∞∗5．如果两个函数g(x)和g(x)满足gx()g()xdx=0，则称g(x)和g(x)正交。12∫1212−∞证明，若两个信号s(t)和s(t)正交，则其傅氏变换也正交。1204116~11

3、8第一周作业解答提要1．冲激函数的定义是这样的：设函数vx()在x=0处连续且有界。若对于任意这样的函数∞vx()，函数gx()都能满足∫−∞vxg()(x)dx=v(0)。则称此gx()为单位冲激函数。一∞jx2πy般记为δ(x)。请证明：∫edx=δ(y)。−∞证：最简单的证法是用傅氏变换的性质，直流的傅氏变换是重激。不过严格而论，这又涉及∞jx2πy到如何证明这个傅氏变换性质的问题。故此我们来证明对于gy()=∫edx，有−∞∞∫vy()g()ydy=v(0)。−∞∞εjx2πy对于任意y≠

4、0，gy()=∫edx=0。因此只需证∫vy()g()ydy=v(0)（ε是正−∞−εε∞无穷小），即∫εgy()dy=1，即∫−∞gy()dy=1，即gy()的面积为1。T2jx2πygy()=lim∫edx=limTsinc(yT)。注意sinc(x)的面积是1，这样问题就解决了。TT→∞−T2→∞如何算sinc的面积可能是个问题，可能需要查数学手册。但它是标准函数，其面积是确定的，这个面积的数值并不依赖于我们待证明的问题。sinπx2．函数sinc的定义是sinc()x3，证明：lim⎡⎣a

5、asinc(x)⎤⎦=δ(x)。πxa→∞证：可用傅氏变换的性质来证。注意傅氏变换的性质隐含了前一题的证明。⎧−11xx≤3．设函数gx()定义为gx()=⎨。今有信号st()，已知其功率谱密度的表达⎩0else∞gf()−n2式为Pfs()=∑n。求st()的功率、3dB带宽、主瓣带宽、90%功率带宽。n=−∞2答：先画出图来。21.81.61.41.2)(f1Ps0.80.60.40.20-10-8-6-4-20246810f功率是Pf()的面积，gx()的面积是1。这样可算出功率是3。s10

6、4116~118第一周作业解答提要13dB带宽是功率谱密度降低至一半处的带宽，即PB()=P(0)。因此B=0.5Hz。ss3dB3dB210B=1，B=−7主瓣9054．已知信号zt()的傅氏变换Z(f)是一个实函数，且∀fZ≤=0,(f)0。(1)证明zt()的虚部Im{zt()}不可能恒为0；(2)若还已知zt()的实部是t的偶函数，证明其虚部必为奇函数。证明：(1)若zt()是实信号，那么它的频谱将满足共轭对称性。(2)令zt()=+a()tjb(t)。则Z()fA=+(fj)B(f)，a

7、t()是实偶函数，故A(f)是实偶函数，因此B(f)只能是虚奇函数，因此bt()是奇函数。∞∗5．如果两个函数g(x)和g(x)满足gx()g()xdx=0，则称g(x)和g(x)正交。12∫1212−∞证明，若两个信号s(t)和s(t)正交，则其傅氏变换也正交。12证：直接用Parserval定理即可。204116~118第二周作业（10月9号交作业）x1−1．已知某随机变量x的概率密度函数为px()=e2,x≥0。某通信系统的错误率是这个2−x随机变量的函数f()x=e，求平均错误率Ef⎡⎣(

8、x)⎤⎦。2．通信系统仿真经常需要产生这样一种0均值平稳高斯过程，它的功率谱密度必须满足一定的要求。一种产生方法是先产生一个高斯白噪声，再让其通过一个线性系统。假设输入⎧11−≤ff功率谱为N2，要求的输出功率谱密度为Pf()=⎨，那么这个线性系统0y⎩00的传递函数应该是什么？所得输出的自相关函数是什么？3．某通信系统中存在的窄带平稳高斯噪声nt()的功率谱为⎧−1fBf−f≤BcPfn()=⎨，其中fc>>B。设nc(t)是nt()的同相分量（即复包⎩00络的实部）(1)求n(