《数学分析》笔记.doc

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1、《数学分析》笔记班级：10级本科一班姓名：张科目录第二模块笔记3第一部分实数集与函数3第二部分 数列极限8第三部分 函数极限10第四部分函数连续性15第五部分 导数与微分32第六部分  微分中值定理及其应用38第八部分不定积分53第九部分 定积分56第十部分  定积分的应用62第十一部分反常积分70第十二部分数项级数74第十三部分函数列与函数项级数92第十四部分幂级数103第十五部分傅里叶级数118第十六部分多元函数的极限与连续133第十七部分多元函数微分学138第十八部分隐函数定理及其应用150第十九部分含

2、参量积分154第二十部分曲线积分165第二十一部分重积分168第二十二部分曲面积分177第二模块笔记第一部分 实数集与函数§1  实 数数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概念 一．      实数及其性质：回顾中学中关于有理数和无理数的定义.有理数：若规定：则有限十进小数都能表示成无限循环小数。例如：记为  ；0记为  ； 记为  实数大小的比较定义1 给定两个非负实数其中 为非负整数，。若由1） 则称 与 相等，记为2）若存在非负整数，使得，而，则称 大于（或 小于 ），分别

3、记为（或）。规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数，若按定义1有，则称   实数的有理数近似表示定义2设为非负实数，称有理数为实数的位不足近似值，而有理数称为的位过剩近似值。对于负实数 的位不足近似值规定为：；的位过剩近似值规定为：比如  ，则1.4,1.41,1.414,1.4142, 称为的不足近似值；1.5,1.42,1.415,1.4143, 称为的过剩近似值。命题 设 为两个实数，则实数的一些主要性质    1 四则运算封闭性:2 三歧性(即有序性):3 实数大小由传递性，即4 Achimede

4、s性:5 稠密性:有理数和无理数的稠密性.6 实数集的几何表示───数轴:例   二.绝对值与不等式 绝对值定义：从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：   绝对值的一些主要性质 性质4（三角不等式）的证明：       三. 几个重要不等式:          ⑴            ⑵ 对记                             (算术平均值)                                   (几何平均值)              (调和平均值)有均值不等式:  等

5、号当且仅当 时成立. ⑶ Bernoulli不等式: (在中学已用数学归纳法证明过)   对由二项展开式            有: 上式右端任何一项.§2数集。确界一 区间与邻域:邻域二  有界数集.确界原理:1.有界数集:  定义(上、下有界,有界) 闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集，集合  也是有界数集.      无界数集:对任意，存在，则称S为无界集。 等都是无界数集, 例证明集合是无界数集.证明：对任意,存在由无界集定义，E为无界集。确界先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多

6、个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。精确定义定义2 设S是R中的一个数集，若数满足一下两条：（1）   对一切 有，即是数集S的上界；（2）   对任何存在使得（即是S的最小上界）则称数为数集S的上确界。记作 定义3 设S是R中的一个数集，若数满足一下两条：（3）   对一切 有，即是数集S的下界；（4）   对任何存在使得（即是S的最大下界）则称数为数集S的下确界。记作 §3函数概念一 函数的定义   1. 函数的几点说明.       函数的

7、两要素:定义域和对应法则约定:  定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.                               函数的表示法:解析法,列表法, 图像法.分段函数         狄里克雷函数    黎曼函数     三 函数的四则运算（见课本）  四. 函数的复合:   六  初等函数:  基本初等函数:1常函数2 幂函数  幂函数    §4  具有某些特性的函数1.有界函数若函数在定义域上既有上界又有下界，则称为上的有界函数。这个定义显然等价于，对一切，恒有请同学们利用有界

8、函数的定义给出无界函数的定义。例  是无界函数。证明 对任意的 ，存在，取 ，则2.  单调函数       3.奇函数与偶函数（1）定义域关于原点对称 周期函数1)   通常我们所说的周期总是指函数的最小周期2)   有的周期函数不一定有最小周期，例如常函数是周期函数，狄里克雷函数，它们显然没有最小周期第二部分 数列极限§1 数列极限概念    对于数列，设A是一个常数，若任给 ，都存在相应的自然