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1、第四模块导数及其应用(选修2-2)第十四讲导数的概念及运算走进高考第一关基础关教材回归1.导数的概念(1)f(x)在x=x_0处的导数函数y=f(x)在x=x_0处的瞬时变化率是____________称其为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或_____________,即f′(x0)=______________.(2)导函数当x变化时,f′(x)称为f(x)的导函数,则f′(x)=______________=__________________.注意:导数是研究在x=x_0处及其附近函数的改变量Δy与自变量的改变量Δx之比
2、的极限,它是一个局部性的概念.若存在,则函数y=f(x)在x=x0处就有导数,否则就没有导数.2.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x_0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的________,过点P的切线方程为:__________________________.斜率3.几种常见函数导数(1)c′=________(c为常数);(2)(xn)′=________(n∈N);(3)(sinx)′=________;(4)(cosx)′=________;(5)(ex)′=________;(6)(ax)′=__
3、______;(7)(lnx)′=________;(8)(logax)′=________.04.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′=_______________;(2)[f(x)·g(x)]′=_______________________;(3)=________________(g(x)≠0).注意:关于导数的加减法则,可推广到有限多个情况,如[f(x)+g(x)+h(x)]′=f′(x)+g′(x)+h′(x)等.5.复合函数的导数设函数u=φ(x)在点x处有导数u′=φ′(x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′=
4、f′(u),则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有导数,且y′x=________或写作fx(φ(x))=_______________.考点陪练1.在平均变化率的定义中,自变量的增量Δx满足()A.Δx>0B.Δx<0C.Δx≠0D.Δx=0解析:当Δx>0时,是从右端趋近,Δx<0时,是从左端趋近,这就是“附近”的意义.答案:C评析:本题运用平均变化率中的Δx的意义来解决问题.2.一物体的运动方程是s=3+t2,则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为()A.0.41B.3C.4D.4.1解析:答案:D3.设函数f(x)可导,则A.f′(
5、1)B.3f′(1)C.(1)D.f′(3)解析:答案:A4.已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=(x-1)3+3(x-1)B.f(x)=2(x-1)C.f(x)=2(x-1)2D.f(x)=x-1解析:先求f(x)的导函数,再代入验证.当f(x)=(x-1)3+3(x-1)时,f′(x)=3(x-1)2+3且f′(1)=3(1-1)2+3=3.答案:A5.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是()A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x-y-1=0解析:直线
6、2x-y+4=0的斜率为k=2.由y=x2得y′=2x,令2x=2,得x=1.所以切点为(1,1),斜率k=2,则所求切线为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.答案:D解读高考第二关热点关类型一:利用导数定义求导数解题准备:根据导数的定义求函数的导数是求导数的基本方法,应熟练掌握,关键是变形,找出分子与分母的对应关系.典例1已知则的值是()A.4B.6C.8D.不存在[评析]本题是对导数概念理解的考查.[答案]C解题准备:(1)常见函数的导数公式:①f(x)=c,则f′(x)=0;②f(x)=xn(n∈N*),则f′(x)=nxn-1;③f
7、(x)=sinx,则f′(x)=cosx;④f(x)=cosx,则f′(x)=-sinx;⑤f(x)=ax,则f′(x)=axlna;⑥f(x)=ex,则f′(x)=ex;⑦f(x)=log_ax,则f′⑧f(x)=lnx,则二、利用求导公式求导数(2)导数的运算法则:①[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);②[f(x)·g(x)]′=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x);③导数的加减法则,可推广到有限多个的情况.(3)求复合函数的导数,其一般步骤是:①分清复合关系,适当选定中间变量,正确分解复合关系;②分层求导,弄清每一步中哪
8、个变量对哪个变量求导数,即分解(复合关系)—求导(导数相乘).[探究1]求下列函数的导数:[分析]利用指数函数､对数函数的求导公式和复合
