2006-2007第二学期线性代数试卷及答案.doc

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1、武汉理工大学考试试题纸（A卷）课程名称线性代数A专业班级全校各有关专业题号一二三四五六七八九十总分题分151540101010100备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)一、单项选择题（每题3分，共15分）1、已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D=()A.-15B.15C.0D.12、设是矩阵，是矩阵，则（）A．当时，必有行列式；B．当时，必有行列式C．当时，必有行列式；D．当时，必有行列式3、设为的一个基，则下列仍为的一个基的是（）A.B.C.D.4、对非齐次方程组，设，则(

2、)A.时，方程组有解；B.时，方程组有唯一解C.时，方程组有唯一解；D.时，方程组有无穷多解5、下列命题中不正确的是()A.合同矩阵的秩必相等B.与对称矩阵合同的矩阵仍是对称阵C.与都是二次型的矩阵D.行列式大于零的矩阵是正定矩阵二、填空题（每题3分，共15分）1、设为的一个基，则在该基下的坐标为。2、．3、若二次型为正定二次型，则。4、若则。5、设是阶矩阵，，是的伴随矩阵．若有特征值，则必有一个特征值是．三、解答题。（每题8分，共40分）1、求（8分）2、求矩阵方程，其中。（8分）3、设及试求：当为何值时可由线性表出，并且表示法唯一。（8分）4、求的特

3、征值和特征向量。（8分）5、设为3阶矩阵，，求。（8分）四、当、为何值时，线性方程组有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．（10分）五、设矩阵A与B相似，其中，①求;②求正交阵P，使得.（10分）六、证明题。（每题5分，共10分）1、设是阶矩阵，如果存在正整数，使得（为阶零矩阵），则矩阵的特征值全为．2、设向量组是齐次方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，求证：线性无关。武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称：线性代数A（A卷）一、选择题（每题3分，共15分）1、A2、B3、B4、A5、D二、填空题（每题3分，共15

4、分）1、1，1，-12、33、24、15、三、解答题（每题8分，共40分）1．（5分）故（8分）故（8分）3．，（4分）当且时可由线性表出，并且表示法唯一。（8分）4．解:解得特征值。（3分）解齐次线性方程组得基础解系为故对应于的特征值为：（5分）解齐次线性方程组得基础解系为：（7分）故对应于的特征值向量为：。（8分）5．解：因为，（2分）所以（5分）=

5、-2A-1

6、=(-2)3

7、A-1

8、=-8

9、A

10、-1=-8´2=-16.（8分）四、解：将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵：（3分）所以，⑴当时，，此时线性方程组有唯一解．⑵当，时，，，此时线性方

11、程组无解．⑶当，时，，此时线性方程组有无穷多组解．（6分）此时，原线性方程组化为因此，原线性方程组的通解为或者写为（10分）五、解：因A与B相似，故有解得.（2分）A的特征根为.（3分）解齐次线性方程组，得对应于的特征向量为，将它单位化得.（5分）对应于的特征向量为，将它单位化得.（7分）对应于的特征向量为.（9分）令，则即为所求正交矩阵.（10分）六．1、设是矩阵的特征值，是矩阵的属于的特征向量，则有．所以，，（3分）但是，所以，但，所以．（5分）2、假设线性有关，则存在不全为零的使得，于是=，（2分）又由于的线性无关性知，于是（4分）（），这与已知向

12、量不是方程组的解矛盾。（5分）