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1、AR模型和ARMA模型谱估计仿真一、问题重述有两个ARMA过程，其中信号1是宽带信号，信号2是窄带信号，分别用AR谱估计算法、ARMA谱估计算法和周期图法估计其功率谱。产生信号1的系统函数为：Hz=1+0.3544z-1+0.3508z-2+0.1736z-3+0.2401z-41-1.3817z-1+1.5632z-2-0.8843z-3+0.4906z-4激励白噪声的方差为1.产生信号2的系统函数为：Hz=1+1.5857z-1+0.9604z-21-1.6408z-1+2.2044z-2-1.4808z-3+0.8145z-4激励白噪声的方差为1.每次实验使用的数据长度为256.二、模型
2、分析+很多随机过程可以由或近似由均值为零、方差为δ2的白噪声序列un经过具有有理想传输函数H(z)的ARMA线性系统来得到。称该随机过程为ARMA过程。U(z)X(z)－B(z)A(z)-1Hz=i=0qbiz-ii=0paiz-i=B(z)A(z)Pxxw=δ2∙H(w)2由上式可知只要估计出模型的参数（ai和bi），即可求出功率谱。1.AR模型的建立：AR模型是一种特殊的ARMA模型，利用AR（p）模型，即：xn=-i=1paixn-i+u(n)逼近采样样本,此时功率谱表达式为：Px=δ21+i=1Paie-jwi2需要求解得未知量为参数ai，当阶数p已知时，利用x(n)的自相关函数与AR
3、模型参数的关系，可建立Y-W方程，解该方程，即可得到AR参数。Rxm+i=1paiRxm-i=0m=1,2……pRxm+i=1paiRxm-i=δ2m=0R(0)R(-1)R(1)R(0)…R(-p)R(1-p)⋮⋱⋮R(p)R(p-1)⋯R(0)∙1a1⋮ap=δ20⋮0对于(p+1)元线性方程，若采用matlab中的函数，则使用的是高斯消去法运算量为p3数量级。采用下面的Levinson-Durbin算法。它可以将运算量减少到p2数量级。递推公式的获取方法如下：①令p=1，得一阶AR模型对应的尤勒—沃克方程为Rx0+a11Rx1=ρ1Rx1+a11Rx0=0可解得a11=-Rx1Rx0ρ1
4、=Rx0-Rx21Rx0=ρ01-a12(1)②令p=2,得二阶AR模型对应的尤勒—沃克方程为Rx0+a21Rx1+a22Rx2=ρ2Rx1+a21Rx0+a22Rx1=0Rx2+a21Rx1+a22Rx0=0解此方程组，得a22=-[Rx2+a1(1)Rx(1)]/ρ1a21=a11+a22a11ρ2=ρ11-a222③令p=3,4,…,由递推规律可得到下式：kp=-[Rxp+i=1p-1ap-1(i)Rx(p-i)/ρp-1]api=ap-1i+appap-1p-i,i=1,2,…,p-1ρp=ρp-11-kp2式中，kp=app,m=1,2,…,pρ0=Rx(0).按照此递推式即可方便解
5、出Ar模型参数a。2.ARMA模型ARMA(p,q)的差分方程如下：xn=-i=1paixn-i+i=0qbiu(n-i)由此可得出自相关的关系：i=0paiRxm-i=σ2k=0∞h*kbk+mRm=-i=1paiRm-i+σ2∙i=0q-mh*ibk+mm=0,1,2,…q-i=1paiRm-i+σ2∙i=-mq-mh*ibi+mm<0-i=1paiRm-im>q当m>q时的自相关函数关系可得,建立超定方程（M>p+q）：R(q)R(q-1)R(q+1)R(q)…R(q-p-1)R(q-p+2)⋮⋱⋮R(M-1)R(M-p)⋯R(q)∙a1⋮ap=-R(q+1)⋮-R(M)R∙a=r利用最
6、小二乘解得：a=(RHR)-1RHr利用Kaveh谱估计方法，在计算出a后直接计算参数ck，则此时功率谱估计式变为：Pxz=k=-qqckz-kA(z)A(z-1)而参数ck可以由以下关系式求出：ck=i=0pj=0paiai*Rxk-i+jk=0,1,…q三、实验内容信号一：按照题目要求要对信号一分别使用AR(4),AR(8),ARMA(4,4),ARMA(8,8)模型和周期图法进行估计，做20次独立实验结果绘制在一张图上，并绘制20次的平均谱和真实谱。信号一是均值为0，方差为1的白噪声通过如下系统函数产生的。得到如下实验结果：信号二：按照题目要求要对信号二分别使用AR(4),AR(8),A
7、R(12),AR(16),ARMA(4,2),ARMA(8,4),ARMA(12,6)模型和周期图法进行估计，做20次独立实验结果绘制在一张图上，并绘制20次的平均谱和真实谱。信号一是均值为0，方差为1的白噪声通过如下系统函数产生的。实验结果如下图所示：四、结果分析为比较算法的不同，现对两种不同的信道做以分析，信道零极点图如下：由此可知信道二比信道一更不稳定。实验结果展示出采用不同方法有着不同的特
