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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯一，[2017·山东济南调研]如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求证：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；(3)在线段1上是否存在点，使得⊥1？若存在，试求出BD的值．BCDADABBC1(1)[证明]在正方形AA1C1C中，A1A⊥AC.又平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，AA1?平面AA1C1C.∴AA1⊥平面ABC.(2)[解]由
2、(1)知，AA1⊥AC，AA1⊥AB，由题意知，在△ABC中，AC＝4，AB＝3，BC＝5，222∴BC＝AC＋AB，∴AB⊥AC.∴以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A－xyz.A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，→→于是A1C1＝(4,0,0)，A1B＝(0,3，－4)，→→B1C1＝(4，－3,0)，BB1＝(0,0,4)．设平面A1BC1的法向量n1＝(x1，y1，z1)，1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯平面B1BC1的法向量n2＝(x2，y2，z2)．→A
3、C·n＝0，4x＝0，1111∴→?3y1－41＝0，z1·1＝0ABn∴取向量n1＝(0,4,3)．→11·2＝0，4x2－32＝0，由BCn?y→4z＝0，2BB1·n2＝0∴取向量n＝(3,4,0)．2∴cosθ＝n1·n21616
4、n
5、
6、n
7、＝＝.5×52512由题图可判断二面角A1－BC1－B1为锐角，16故二面角A1－BC1－B1的余弦值为25.→→(3)[解]假设存在点D(x，y，z)是线段BC1上一点，使AD⊥A1B，且BD＝λBC1，∴(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)，解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ，→∴AD＝(4λ，3－3λ，4λ)．又AD⊥A1
8、B，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0，9解得λ＝25，9∵25∈[0,1]，∴在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，BD9此时＝.BC125二，如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，π∠ABC＝∠BAD＝2，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．→→→[解]以{AB，AD，AP}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系
9、A－xyz，则各点的坐标为B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．(1)由题意知，AD⊥平面PAB，→所以AD是平面PAB的一个法向量，→AD＝(0,2,0)．→→因为PC＝(1,1，－2)，PD＝(0,2，－2)．设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)，→→则m·PC＝0，m·PD＝0，x＋－2＝0，yz即2y－2z＝0.令y＝1，解得z＝1，x＝1.所以m＝(1,1,1)是平面PCD的一个法向量．→→AD·m3从而cos〈AD，m〉＝→＝3，
10、AD
11、
12、m
13、3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14、⋯⋯⋯⋯⋯3所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为3.→(2)因为BP＝(－1,0,2)，→→设BQ＝λBP＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)，→又CB＝(0，－1,0)，→→→则CQ＝CB＋BQ＝(－λ，－1,2λ)，→又DP＝(0，－2,2)，→→→→·1＋2λ从而cos〈CQ，DP〉＝CQDP＝.→→210λ＋2
15、CQ
16、
17、DP
18、设1＋2λ＝t，t∈[1,3]，→→2t22，〉＝则cos〈2CQDP5t－10t＋929＝15220≤10.9t－9＋992→→103当且仅当t＝5，即λ＝5时，
19、cos〈CQ，DP〉
20、的最大值为10.因为y＝cosx在0，π2上是减函数
21、，所以此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又因为BP＝12＋22＝5，225所以BQ＝5BP＝5.三，[2016·浙江卷]如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求二面角B－AD－F的平面角的余弦值．(1)[证明]延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．因为平面BCFE⊥平面AB
