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《最全的递推数列求通项公式方法.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯高考递推数列题型分类归纳解析各种数列在很多情形下，就是数列通公式的求解。特是在一些合性比的数列中，数列通公式的求解往往是解决数列的瓶。本文出几种求解数列通公式的方法，希望能大家有帮助。型1an1anf(n)解法：把原推公式化an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列an足a11，an1an1，求an。2n2n解：由条件知：an1an1111nn(n1)nn1n2分别令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)个等式累加之，即(a2a1)(a3a2)(a4a3)(
2、anan1)(11)(11)(11)(111)22334nn所以ana111na11，an1113122n2n式:（2004，全国I，个理22．本小分14分）已知数列{an}中a1Ka2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,⋯⋯.1，且a2k=a2k－1+(－1),（I）求a3,a5；（II）求{an}的通公式.解：a2ka2k1(1)k，a2k1a2k3ka2k1a2k3ka2k1(1)k3k，即a2k1a2k13k(1)ka3a13(1)，a5a332(1)2⋯⋯⋯⋯a2k1a2k13k(1)k将以上k个式子相加，得a2k1a1(3323k)[(1)(1)2(1)k]
3、3(3k1)1[(1)k1]22将a11代入，得1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a2k113k11(1)k1，2211(1)ka2ka2k1(1)k3k1。221n11n1321)21(n为奇数)2(经检验a11也适合，an21n1n32(1)21(n为偶数)22类型2an1f(n)an解法：把原递推公式转化为an1f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an例:已知数列an满足a12，an1nan，求an。3n1解：由条件知an1n，分别令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)个等式累乘ann1之，即a2
4、a3a4an123n1an1a1a2a3an1234na1na122又，an3n3例:已知a13，an13n11)，求an。3nan(n2解：an3(n1)13(n2)1321313(n1)23(n2)2a1322323n43n752361。3n13n4853n变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，ana12a23a3(n1)an1(n≥2)，则{an}的通项an1n1___n2解：由已知，得an1a12a23a3(n1)an1nan，用此式减去已知式，得当n2时，an1annan，即an1(n1)an，又a2a11，a11,a21,a33,a4
5、4,,ann，将以上n个式子相乘，得ann!(n2)a1a2a3an122⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯类型3an1panq（其中p，q均为常数，(pq(p1)0)）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an1tp(ant)，其中tq，再利用p1换元法转化为等比数列求解。例:已知数列an中，a11，an12an3，求an.解：设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)即an12antt3.故递推公式为an132(an3),令bnan3，则b1a134,且bn1an132.bnan3所以bn是以b1
6、4为首项，2为公比的等比数列，则bn42n12n1,所以an2n13.变式:（2006，重庆,文,14）在数列a中，若a11,an12an3(n1)，则该数列的通项an_______________n（key:an2n13）变式:（2006.福建.理22.本小题满分14分）已知数列a满足a11,an12an1(nN*).n（I）求数列an的通项公式；（II）若数列{bn}滿足4b114b214bn1(an1)bn(nN*),证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：n1a1a2...ann(nN*).23a2a3an12（I）解：an12an1(nN*),an112(an1)
7、,an1是以a112为首项，2为公比的等比数列an12n.即an2n1(nN*).（II）证法一：4k114k21...4kn1(an1)kn.3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4(k1k2...kn)n2nkn.2[(b1b2...bn)n]nbn,①2[(b1b2...bnbn1)(n1)](n1)bn1.②②－①，得2(bn11)(n1)bn1nbn,即(n1)bn1nbn20,nbn2(n1)bn120.③－④，得nbn22nbn1n
