高等代数与解析几何复习题.doc

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1、高等代数与解析几何复习题第一章矩阵一、填空题1.矩阵与的乘积有意义，则必须满足的条件是。2.设又，问。3.设与都是级方阵，计算,,。4.设矩阵,试将表示为对称矩阵与反对称矩阵的和。（注意：任意阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）5.设,,,计算。6.设向量，则，。7.设矩阵，则。8.设矩阵，则。9.设准对角矩阵,是多项式，则。10.设矩阵，则的秩。11.设是阶方阵的伴随矩阵,,则。12.设是矩阵的伴随矩阵，则13.矩阵的秩为__________，的伴随矩阵=。14.设是3阶可逆方阵，是矩阵且，则。15.设，是矩阵

2、且，则。16.试写出阶方阵可逆的几个充分必要条件（越多越好）。17.设矩阵，试写出行列式中-元的代数余子式，中第三行元素的代数余子式之和=。18.设是矩阵且，则的等价标准形为。19.设，则的等价标准形为。20.设，，则。21.设，则的等价标准形为。22.设，则。23.。24.已知矩阵满足，则。25.设阶矩阵可逆，则。26.试写出矩阵秩的定义。27.试写出阶行列式按第一列展开的定义。28.已知四阶行列式中第三列元素依次为，它们的代数余子式依次分别为，则=_______。29.已知为同阶方阵,且可逆,若,则(是整数)。30

3、.设均为阶方阵，且，则。31.设均为阶方阵，且，则。32.若，都是阶方阵，，，则。33.设矩阵,则______________。34.设,则,,。35.,。36.设3阶方阵的第一行和第三行交换后得矩阵,的第一行的2倍加到第二行得矩阵,于是存在矩阵使得,则。37.以3阶方阵为例，写出三类初等矩阵及其逆矩阵。38.已知准对角矩阵可逆，则。39.已知矩阵的秩分别为2,1，则分块矩阵的秩=。二、判别说理题（错误的请举例说明或说明理由，正确的请证明）1.设矩阵满足，则或。2.矩阵乘法适合交换律。3.设是阶方阵，则。4.设是同阶方

4、阵，若，则。(若可逆，该结论如何？)5.设是方程组的解，则是的解，是的解。6.设是线性方程组的解，则是的解。7.设是线性方程组的解，则是的解，是任意常数。8.矩阵可逆，且其逆为其本身。类似有，同样问题。9.设是阶矩阵，则。10.若一行列式为零，则该行列式中必有两行或两列称比例。（或必有一行或一列为零）11.若方阵可逆，则其伴随矩阵也可逆。12.阶方阵满足，则可逆。13.若，则必有。14.设是阶方阵，且，则。15.方阵满足，则或。16.设,都是阶方阵,若,都可逆,则可逆。17.若矩阵的秩为，则中必有某一个阶子式不等于零。

5、18.若阶方阵的秩，则其伴随阵。19.设是阶方阵，则。20.方阵的初等变换不改变矩阵的秩，也不改变行列式的值。21.设,都是阶方阵,若,都可逆,则可逆，且其逆为。22.设,都是阶方阵,则。三、解答题1.求，，，。2.求。3.已知矩阵，，计算,。4.设3阶方阵的伴随矩阵为，且，求。5.已知，求逆阵。6.设,试用矩阵初等行变换法求的逆矩阵.7.设。试用矩阵分块方法求。8.用两种方法求下列矩阵的逆.9.利用初等变换与初等矩阵的关系计算下列矩阵的乘积10.写出下列矩阵的等价标准形，（对讨论）11.设矩阵的秩为2，求，。12.求

6、解线性方程组（1）；（2）。13.设，，求。14.设是阶方阵,且,求,其中是的伴随矩阵。15.设矩阵.多项式，求及。16.设是矩阵，将按列分块计算。17.设阶方阵满足,证明可逆，并求其逆。18.设4阶矩阵,，且,求行列式。19.求矩阵方程,其中。20.求级行列式的值.21.设A=，求A的行列式.22.求行列式的值.23.计算行列式.四、课程讲义习题一中如下题目：2,14,17(2),21,23,27,28,29,30,31,32,33,34,35,37,38,39,41,42,43,45,46,47,48,49,50,

7、51,52,53,54,6,66,69.第二章线性方程组一、填空题1.试写出线性方程组有解的一个充分必要条件。2.设是阶方阵，且秩，则齐次线性方程组的基础解系中含个解向量。3.方程组的基础解系中含个解向量。4.设是元齐次线性方程组的基础解系，则秩()=。5.矩阵的秩为，则的基础解系一定由________个线性无关的解向量构成。6.若方程组有非零解，则。7.设是阶方阵,若线性方程组有非零解,则必有。8.设是阶方阵,,则线性方程组的基础解系所含向量的个数是。9.,,线性相关,则的值为__________。10.若向量与线性

8、相关，则的取值为。11.设向量组，，,则向量组的秩是。12.设向量组I：的秩为，向量组II：秩为，且向量组I能由向量组II线性表出，则与的大小关系是_________________。13.设向量组I:线性无关，而都能由I线性表出，则秩()=。14.已知一个向量组含有两个或两个以上的最大线性无关组,则各个最大线性无关组所含向量的个