直角坐标系下计算二重积分ppt课件.ppt

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1、8.2直角坐标系下计算二重积分的计算1．在矩形区域上的二重积分二重积分化为两次定积分来计算①二重积分存在则与分法无关。在直角坐标系中，采用平行于ox轴和oy轴的分割网，=dxdy②几何意义：二重积分等于立体体积用横截面来计算立体体积﹡﹡应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的计算方法，来计算曲顶柱体的体积oxxabA(x)V③以底面为一矩形[a,b;c,d]的立体为例，求其体积（应用上列公式）如图所示，若能求出截面面积，则立体体积问题就归结为运用上述公式。oax0bxABCDA(x0)cdABCDyz设以平面x=x

2、0[垂直于x轴、平行于yoz平面的平面]截立体，得一曲边梯形截口ABCD。要求截口的面积A(x0)我们将截口ABCD投影到yoz坐标平面上，得到与之完全相同的曲边梯形ABCD，从而A(x0)=SABCD=SABCD然而曲边梯形ABCD的曲边DC的方程为z=f(x0,y)(c≤y≤d)由于定积分几何意义，因而A(x0)=SABCD=考虑到x0的任意性，对于x∈[a，b]均有A(x)=代入上列②中立体体积公式，得到最后，有由此说明，以底面是一矩形的立体体积的计算为例，可导出结论：直角坐标系中，二重

3、积分的计算可化为两个一重积分（二次积分）来计算。例1求解：如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.二X型区域上的二重积分［X－型］应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得例2计算积分D：⑴由y=x，y=5x，x=1所围成区域；⑵由y=x2和y2=x所围成区域解⑴：①绘出区域D的图形：②确定积分限：x:[0,1]y:[x,5x]③计算积分：o1xyy=xy=5x解⑵：①绘出区域D的图形：②求出两曲线的交点：解方程组得实数解故交点为（0，0）、（1，1）yxxyy=x2y2=x③确定积分限：由于x由0变到1时，y由下方曲线

4、y=x2变到上方曲线y=，所以第一次积分的积分限为：下限x2，上限；第二次积分的积分限为：下限0，上限1（解⑵续）④计算积分：如果积分区域为：［Y－型］三Y型区域上的二重积分X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.二重积分计算中的问题再讨论⑴二重积分的计算，关键在于化为两次定积分来计算；⑵二重积分化为两次定积分的计算方法中，最重要的是两个问题：①如何选择积分次序？②如何

5、确定积分限⑶如何选择积分次序①正确画出区域D的图形是选择积分次序的关键，即使是最简单的区域D也要求首先画出图形。②对复杂区域分块二重积分化为两次定积分的计算方法，要求区域D必须满足条件③选择积分次序选择两次积分的次序，关系到二重积分计算的繁简，甚至关系到该积分是否能计算出结果。如与（不能用初等函数表示！）13o2xyy=x-1D⑷如何确定积分限①二重积分化成的二次积分，其上限一定不能小于下限。②第一次积分的积分限，是由第二次积分的积分变元所表示的函数；第二次积分的积分限为常数。先对y积分（积分变元是y）：下限为y=1(x)

6、（D的下方曲线）；上限为y=2(x)（D的上方曲线）后对x积分（积分变元是x）：下限为D在x轴上投影的左端点的横坐标a；上限为D在x轴上投影的右端点的横坐标b。先对x积分（积分变元是x）：下限为x=1(y)（D的左方曲线）；上限为x=2(y)（D的右方曲线）后对y积分（积分变元是y）：下限为D在y轴上投影的下端点的横坐标c；上限为D在x轴上投影的上端点的横坐标doxcdyDx=1(y)x=2(y)oxybay=2(x)y=1(x)D例3将按两种顺序化为两次积分解：①先y后x②先x后yy2=8xx2=yxy解解积

7、分区域如图四改变积分次序解积分区域如图解二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）五、小结［Y－型］［X－型］［矩形］