第24届全国中学生物理竞赛决赛试题及详细解答

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1、第24届全国中学生物理竞赛决赛试题2007年11月宁波★理论部分yCDv0lαOxAlB一、A，B，C三个刚性小球静止在光滑的水平面上．它们的质量皆为m，用不可伸长的长度皆为l的柔软轻线相连，AB的延长线与BC的夹角α=π/3，如图所示．在此平面内取正交坐标系Oxy，原点O与B球所在处重合，x轴正方向和y轴正方向如图．另一质量也是m的刚性小球D位于y轴上，沿y轴负方向以速度v0（如图）与B球发生弹性正碰，碰撞时间极短．设刚碰完后，连接A，B，C的连线都立即断了．求碰后经多少时间，D球距A，B，C三球组成的系统的质心最近．二、为了近距离探测太阳

2、并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点到太阳的距离为0.01AU（AU为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：1AU=1.495×1011m），并与地球具有相同的绕日运行周期（为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运动）．试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度u0（发射速度是指在关闭火箭发动机，停止对飞船加速时飞船的速度）发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地球绕太阳运行轨道附近（也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨

3、道上）进入符合要求的椭圆轨道绕日运行？已知地球半径Re=6.37×106m，地面处的重力加速度g=9.80m/s2，不考虑空气的阻力．三、如图所示，在一个竖直放置的封闭的高为H、内壁横截面积为S的绝热气缸内，有一质量为m的绝热活塞A把缸内分成上、下两部分．活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动．缸内顶部与A之间串联着两个劲度系数分别为k1和k2（k1≠k2）的轻质弹簧．A的19上方为真空；A的下方盛有一定质量的理想气体．已知系统处于平衡状态，A所在处的高度（其下表面与缸内底部的距离）与两弹簧总共的压缩量相等皆为h1=H/4．现给电炉丝R通电流对气

4、体加热，使A从高度h1开始上升，停止加热后系统达到平衡时活塞的高度为h2=3H/4．求此过程中气体吸收的热量△Q．已知当体积不变时，每摩尔该气体温度每升高1K吸收的热量为3R/2，R为普适气体恒量．在整个过程中假设弹簧始终遵从胡克定律．H四、为了减少线路的输电损耗，电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式．在传输线路上建造一系列接地的铁塔，把若干绝缘子连成串（称为绝缘子串，见图甲），其上端A挂在铁塔的横臂上，高压输电线悬挂在其下端B．绝缘子的结构如图乙所示：在半径为R1的导体球外紧包一层耐高压的半球形陶瓷绝缘介质，介质外是一内半径为R2

5、的半球形导体球壳．已知当导体球与导体球壳间的电压为U时，介质中离球心O的距离为r处的场强为E=，场强方向沿径向．AB图甲半球形导体球壳绝缘层导体球图乙1．已知绝缘子导体球壳的内半径R2=4.6cm，陶瓷介质的击穿强度Ek=135kV/cm．当介质中任一点的场强E＞Ek时，介质即被击穿，失去绝缘性能．为使绝缘子所能承受的电压（即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压）为最大，导体球的半径R119应取什么数值？此时，对应的交流电压的有效值是多少？2．一个铁塔下挂有由四个绝缘子组成的绝缘子串（如图甲），每个绝缘子的两导体间有电容C0．每个绝缘子的下部

6、导体（即导体球）对于铁塔（即对地）有分布电容C1（导体球与铁塔相当于电容器的两个导体极板，它们之间有一定的电容，这种电容称为分布电容）；每个绝缘子的上部导体（即导体球壳）对高压输电线有分布电容C2．若高压输电线对地电压的有效值为U0．试画出该系统等效电路图．3．若C0=70pF=7×10－11F，C1=5pF，C2=1pF，试计算该系统所能承受的最大电压（指有效值）．yGPOdAx五、如图所示，G为一竖直放置的细长玻璃管，以其底端O为原点，建立一直角坐标系Oxy，y轴与玻璃管的轴线重合．在x轴上与原点O的距离为d处固定放置一电荷量为Q的正点电

7、荷A，一个电荷量为q（q＞0）的粒子P位于管内，可沿y轴无摩擦地运动．设两电荷之间的库仑相互作用力不受玻璃管的影响．1．求放在管内的带电粒子P的质量m满足什么条件时，可以在y＞0的区域内存在平衡位置．2．上述平衡状态可以是稳定的，也可能是不稳定的；它依赖于粒子的质量m．以y（m）表示质量为m的粒子P处于平衡位置时的y坐标．当粒子P处于稳定平衡状态时，y（m）的取值区间是_________________；当粒子P处于不稳定平衡状态时，y（m）的取值区间是_________________（请将填空答案写在答题纸上）．3．已知质量为m1的粒子P

8、处于稳定平衡位置，其y坐标为y1．现给P沿y轴一微小扰动．试证明以后的运动为简谐运动，并求此简谐运动的周期．4．已知质量为m2的粒子P的不稳定平衡位置的y坐标为y2