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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯情形一：积分区域D关于坐标轴对称定理4设二元函数f(x,y)在平面区域D连续，且D关于x轴对称，则1)当f(x,y)f(x,y)（即f(x,y)是关于y的奇函数）时，有f(x,y)dxdy0.D2)当f(x,y)f(x,y)（即f(x,y)是关于y的偶函数）时，有f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy.DD1其中D1是由x轴分割D所得到的一半区域。例5计算I(xyy3)dxdy，其中D为由y22x与x2围成的区域。D解
2、：如图所示，积分区域D关于x轴对称，且f(x,y)(xyy3)f(x,y)即f(x,y)是关于y的奇函数，由定理1有f(xyy3)dxdy0.D类似地，有：定理5设二元函数f(x,y)在平面区域D连续，且D关于y轴对称，则2f(x,y)dxdy,当f(x,y)f(x,y).f(x,y)dxdyD2D0,当f(x,y)f(x,y).其中D2是由y轴分割D所得到的一半区域。例6计算I2xyd,其xd中yD为由Dy2x2;y-及x22所y围。解：如图所示，D关于y轴对称，并且f(x,y)x2yf(x,y)，即被积分函数是
3、关于x轴的偶函数，由对称性定理结论有：1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯Ix2ydxdy2x2ydxdy1dx2x22.2x2ydxdyDD10015定理6设二元函数f(x,y)在平面区域D连续，且D关于x轴和y轴都对称，则（1）当f(x,y)f(x,y)或f(x,y)f(x,y)时，有f(x,y)dxdy0.D（2）当f(x,y)f(x,y)f(x,y)时,有f(x,y)dxdy4f(x,y)dxdyDD1其中D1为由x轴和y轴分割D所的到的1/4区域
4、。9例7计算二重积分I(xy)dxdy，其中D：xy1.D解：如图所示，D关于x轴和y轴均对称，且被积分函数关于x和y是偶函数，即有f(x,y)f(x,y)f(x,y)，由定理2，得I(xy)dxdy4(xy)dxdyDD1其中D1是D的第一象限部分，由对称性知,xdxdyydxdy，D1D1故I4(xy)dxdy4(xx)dxdy8xdxdy4.D1D1D13情形二、积分区域D关于原点对称定理7设平面区域DD1D2,且D1,D2关于原点对称,则当D上连续函数满足1)f(x,y)f(x,y)时,有f(x,y)dxd
5、y2f(x,y)dxdyDD12)f(x,y)f(x,y)时,有f(x,y)dxdy0.D例8计算二重积分(x3y3)dxdy,D为D2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯yx3与yx所围区域.解:如图所示,区域D关于原点对称,对于被积函数f(x,y)x3y3,有f(x,y)(x)3(y)3(x3y3)f(x,y),有定理7,得(x3y3)dxdy0.D情形三、积分区域D关于直线yx对称定理8设二元函数f(x,y)在平面区域D连续,且DDD2,D1,D2关于
6、直线yx对1称,则1)f(x,y)dxdyf(y,x)dxdy;DDf(x,y)dxdyf(x,y)dxdy.D1D22)当f(y,x)f(x,y)时,有f(x,y)dxdy0.D3)当f(y,x)f(x,y)时,有f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy.DD1(x22例9求I2y2)dxdy,D为x2y2R2所围.Dab解:积分区域D关于直线yx对称,由定理8,得x2y2)dxdyy2x2(2b2(2b2)dxdy,DaDa故I(x2y2)dxdy1[(x2y2)dxdy(y2x2)dxdy]Da2b22Da
7、2b2Da2b2111221112R2(22)(xy)dxdy(22)d0rrdr2abD2ab04R4(11).a2b2类似地，可得：定理9设二元函数f(x,y)在平面区域D连续,且DD1D2,D1,D2关于直线yx对称,3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯则（1）当f(y,x)f(x,y),则有f(x,y)dxdy0；D(2)当f(y,x)f(x,y),则有f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy.DD1例10计算I(x2y2)arcsin(xy)d
8、xdy,其中D为D区域:0x1,1y0.解:如图所示,积分区域D关于直线yx对称,且满足f(y,x)f(x,y),由以上性质,得:I(x2y2)arcsin(xy)dxdy0.D注：在进行二重积分计算时,善于观察被积函数的积分区域的特点,注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性,恰当地利用对称方法解题,可以避免繁琐计算,使二重积分的解答大大简化。4
