2021届新高考数学二轮专题突破二第1讲 平面向量（解析版）.docx

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1、专题二第1讲　平面向量【要点提炼】考点一　平面向量的线性运算1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．【热点突破】【典例】1　(1)如图所示，AD是△ABC的中线，O是AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ的值为(　　)A．－B.C．－D.【答案】　A【解析】　由题意知，＝(＋)＝

2、×＝(－)＋＝－，则λ＝，μ＝－，故λ＋μ＝－.(2)已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0.若a∥b，则＝________.【答案】　－2【解析】　∵a∥b，∴m×(－1)＝2×n，∴＝－2.(3)A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若＝λ＋μ(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．【答案】　(1，＋∞)【解析】　由题意可得，＝k＝kλ＋kμ(01，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．易错提醒　在平面向量的化简或运算

3、中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．【拓展训练】1　(1)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________.【答案】　【解析】　由题意可设＝x(0

4、标系(图略)，则B(1,0)，A，C(cosθ，sinθ).则＝(cosθ，sinθ)＝x＋y(1,0)，即解得x＝，y＝cosθ－，故x＋3y＝＋3cosθ－sinθ＝3cosθ－sinθ，0≤θ≤.令g(θ)＝3cosθ－sinθ，易知g(θ)＝3cosθ－sinθ在上单调递减，故当θ＝0时，g(θ)取得最大值为3，当θ＝时，g(θ)取得最小值为1，故x＋3y的取值范围为[1,3]．【要点提炼】考点二　平面向量的数量积1．若a＝(x，y)，则

5、a

6、＝＝.2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

7、

8、＝.3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为

9、a与b的夹角，则cosθ＝＝.【热点突破】【典例】2　(1)(2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足

10、a

11、＝5，

12、b

13、＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉等于(　　)A．－B．－C.D.【答案】　D【解析】　∵

14、a＋b

15、2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴

16、a＋b

17、＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝＝.(2)已知扇形OAB的半径为2，圆心角为，点C是弧AB的中点，＝－，则·的值为(　　)A．3B．4C．－3D．－4【答案】　C【解析】　如图，连接CO，∵点C是弧AB的中点，∴CO⊥AB，又∵OA＝OB＝2，＝－，∠AOB＝，

18、∴·＝(－)·＝－·＝－·(－)＝·－2＝×2×2×－×4＝－3.(3)已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则

19、＋

20、的取值范围为________________．【答案】　【解析】　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，设＝λ(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)，故＝(－λ，2－2λ)，＝(2－λ，－2λ)，则＋＝(2－2λ，2－4λ)，∴

21、＋

22、＝＝，0≤λ≤1，当λ＝0时，

23、＋

24、取得最大值为2，当λ＝时，

25、＋

26、

27、取得最小值为，∴

28、＋

29、∈.易错提醒　两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．【拓展训练】2　(1)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a，b满足

30、a

31、＝2

32、b

33、，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)A.B.C.D.【答案】　B【解析】　方法一　设a与b的夹角为θ，因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－

34、b

35、2＝0，又因为

36、a

37、＝2

38、b

39、，所以2

40、b

41、2cosθ－

42、b

43、2＝0，即cosθ＝，又θ∈[0，π]，所以

44、θ＝，故选B.方法二　如图，令＝a，＝b，则＝－＝a