构造新函数,妙解导数题(一).ppt

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1、构造新函数，妙解导数题（一）(一)利用f(x)与x构造【例1】设f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为__________________.(－∞，－4)∪(0,4)思路点拨出现“＋”形式，优先构造F(x)＝xf(x)，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.解析　构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，可以推出当x<0时，F′(x)<0，∴F(x)在(－∞

2、，0)上单调递减.∵f(x)为偶函数，x为奇函数，所以F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减.根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4).【例2】设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)＝0，当x<0时，有xf′(x)－f(x)>0恒成立，则不等式f(x)>0的解集为________________________.(－∞，－1)∪(1，＋∞)思路点拨出现“－”形式，优先构造F(x)＝，然后利用函

3、数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.当x<0时，xf′(x)－f(x)>0，可以推出当x<0时，F′(x)>0，F(x)在(－∞，0)上单调递增.∵f(x)为偶函数，x为奇函数，所以F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递增.根据f(1)＝0可得F(1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).答案：B2.xf(x)，是比较简单常见的f(x)与x之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数

4、的一般形式.(1)出现xf′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝例3已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x>0时，2f(x)>xf′(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是_______________.(－1,0)∪(0,1)思路点拨满足“xf′(x)－nf(x)”形式，优先构造F(x)＝然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.当x>0时，xf′(x)－2f(x)<0，可以推出

5、当x>0时，F′(x)<0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减.∵f(x)为偶函数，x2为偶函数，所以F(x)为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增.根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f(x)>0的解集为(－1,0)∪(0,1).答案：A例4