《随机过程及其在金融领域中的应用》习题二答案.docx

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1、第二章习题2¥1、设X为取非负整数值的随机变量，证明E(X)=åP(X³k)k=1证明：E(X)¥=åkp(x=k)¥=åk(p(X³k)-p(x³k+1))k=1k=1¥¥=åkp(x³k)-å(k+1)p(x³k+1)+åp(x³k+1)¥k=1k=1k=1¥¥=p(k=1)+åp(x³k+1)=åp(x³k)k=1k=1ìe-x,x>0=eaX(a<0)的数学期望。2、设随机变量X的概率密度为f(x)=í，求Yî0,x£0答：E(Y)=E(eax)=ò-+¥¥eaxf(

2、x)dx=ò0+¥eaxe-xdx=ò0+¥ex(a-1)dx=1ò0+¥de(a-1)x=1a-11-aì6xy2,0

3、(X,Y)=cov(Y,X)=0EX)=+¥xf(xdx=12x2dx=2EX2)=12x3dx=1(ò-¥)ò03(ò02E(Y)=ò-¥+¥yf(y)dy=ò013y3dy=3E(Y2)=ò013y4dy=354covX,X)=EX2)-EX))2=1covYY,=EY2)-EY))2=31880((((()(((())æ10öæcovX,XcovX,Yöç÷18故（X,Y）的协方差矩阵为ç(÷=ç3÷ècov(Y,X)cov(Y,Y)øç0÷ç÷è80ø4、已知二维随机变量（X,Y）服从联合正态

4、分布，且E(X)=E(Y)=0,D(X)=1,D(Y)=4,r(X,Y)=1.2（1）写出（X,Y）的联合密度函数。（2）已知Z=aX+Y与Y独立，求a答：（1）m=m=0,s2=1,s2=4,r=1。将各参数代入二维正态分布密度函数，21212最终得：f(x,y)=1ì2é2112ùüexpí-êx-xy+yúý23pî3ë24ûþcovX,Y)1（2）rXY=(=Þcov(X,Y)=1var(x)var(Y)2cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)E(XY)=1当Z与X独立时，有E(ZY

5、)=E(Z)E(Y)E(Z)=aE(X)+E(Y)=0,E(Y)=0E(ZY)=Eéa(XY)+Y2ù=aE(XY)+E(Y2)ëûaE(XY)+E(Y2)=a+4=0Þa=-45、设X服从正态分布N(m,s2),Y=eX，求Y的概率密度函数。答：){}{}()X()(=PX£lnyFY=PY£y=PeX£y=Flny当y>0时，fY(y)=F¢(y)=1fX(y)=1-(lny-u)22s2e；y2psy当y£0时，fY(y)=0。6、设X和Y是相互独立的Poisson随机变量，其参数分别是l1和

6、l2。试求当给定X+Y=n时，X=k(k£n)的条件概率。答：P(X+Y=n)=åP(X=k,Y=n-k)=ål1e-l1l2e-l2nnkn-k=e(1k=1k=1k!(n-k)!2)nn!lkln-k=e(1)2l+ln-l+lå-l+l12(1)2n!(n-)n!k=1k!k!lk-lln-k-lP(X=kY=n-k)1e12e2ökæön-kP(X=kX+Y=n)==k!(n-k)!=Cnkællç1÷ç2÷P(X+Y=n)-l+le(12)(l1+l2)nèl1+l2øèl1+l2øn!ìe

7、-y,0

8、y)及f(y

9、x)。答：fX,Y(x,y)fX,Y(x,y)公式f(xy)=和f(yx)=fY(y)fX(x)先求边缘概率密度：（00f=ò-¥f=ò-¥e-ydy=-e-yx=0+e-x=e-xfíxx,ydyx=ïï0,其他îY()+¥()yyY()ìye-y,y>0f=ò-¥f=ò00=ye-yf=íyx,ydxe-ydx=xe

10、-yyïï0,其他îf(xy)=fX,Y(x,y)=fY(y)ì1,00)的指数分布，求X的矩母函数，并根据其矩母函数计算X的数学期望和方差。答：依题意，可得：X的矩母函数：yX(t)=E(etx)=ò-¥+¥etxdFX(x)()()-lx()X服