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1、例题习题课教学要求第十一章无穷级数infiniteseries1一、教学要求1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念,2.掌握几何级数和p–级数的收敛性.数的比值审敛法.4.了解交错级数的莱布尼茨定理,了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件.3.了解正项级数的比较审敛法,掌握正项级错级数的截断误差.会估计交第十一章无穷级数习题课26.了解函数项级数的收敛域及和函数的7.掌握幂级数收敛区间的求法.8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基5.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.概念.本性质.第十一章无穷级数习题课39.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.10.会
2、利用的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数.11.了解幂级数在近似计算上的简单应用.第十一章无穷级数习题课4并会将定义在12.了解函数展开为傅里叶级数的狄里克会将定义在雷条件,展开为傅氏级数,上的函数展开为正弦或余弦级数.上的函数和第十一章无穷级数习题课5二、典型例题例解分母第十一章无穷级数习题课6根据级数收敛的必要条件，级数分子分母发散．第十一章无穷级数习题课7正解从而有级数级数收敛；发散;第十一章无穷级数习题课8所以,原级数也发散．第十一章无穷级数习题课9例解即原级数如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛?发散,发散非绝对收敛．第十一章无穷级数习题课10由莱布尼茨定理是
3、交错级数,(1)第十一章无穷级数习题课11所以此交错级数收敛，故原级数是(2)条件收敛．第十一章无穷级数习题课12例解两边逐项积分第十一章无穷级数习题课收敛半径为收敛域为设此级数的和函数为s(x),则有13第十一章无穷级数习题课14例解分析的和函数展开第十一章无穷级数习题课的幂级数.是的展开式,设法用已知展开式来解.15第十一章无穷级数习题课16解故知可知例1988年研究生考题,选择,3分第十一章无穷级数习题课A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性不能确定绝对收敛.对一切满足阿贝尔定理绝对收敛.171998年北方交大考题,7分证由已知条件知因此,所以,由级数收敛的必要条件,
4、例第十一章无穷级数习题课18解例1991年研究生考题,选择,3分第十一章无穷级数习题课19例证明在区间上有恒等式并求级数分析欲证之等式等价于这是要证明一个三角级数在指定区间内收敛于一函数.这是傅里叶级数的反问题.证明这类题的一般方法是将所给函数在指定区间内展成傅里叶级数,看它是否等于给定的级数.的和.第十一章无穷级数习题课20得得由于x2为偶函数,证故第十一章无穷级数习题课21例求三角级数之和.解令考虑级数欧拉(Euler)公式及按实部与虚部分别相等的关系,即得第十一章无穷级数习题课22例解绝对收敛条件收敛第十一章无穷级数习题课A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.收敛或发散与k
5、的取值有关231990年研究生考题,选择,3分解因而由性质，发散.例第十一章无穷级数习题课A.绝对收敛B.发散C.条件收敛D.收敛性与a的取值有关241996年研究生考题,选择,3分解因为所以第十一章无穷级数习题课例25因为从而故且有界,存在,因而又记单调增加第十一章无穷级数习题课26解例1988年研究生考题,计算,5分第十一章无穷级数习题课得27第十一章无穷级数习题课处处收敛.收敛发散28例求幂级数的和函数.解(1)求收敛域发散收敛故级数的收敛域第十一章无穷级数习题课29(2)求和函数s(x)设所求和函数为s(x),有逐项求导即第十一章无穷级数习题课30由牛–莱公式得因此,当
6、x=0时,显然有总之,有第十一章无穷级数习题课311996年研究生考题,计算,7分解例第十一章无穷级数习题课可设收敛半径32逐项求导积分得第十一章无穷级数习题课33第十一章无穷级数习题课得34练习求的收敛域与和函数.提示解令收敛域为当时,收敛,当时,收敛,第十一章无穷级数习题课35又设(逐项求导即可得)和函数为(逐项求导即可得)设设第十一章无穷级数习题课36练习解展开区间第十一章无穷级数习题课37作业总习题十一(257页)第十一章无穷级数习题课38
