自动控制理论 时域分析2--二阶系统

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1、3.2二阶系统的瞬态响应一个可以用二阶微分方程来描述的系统称为二阶系统。从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的储能元件，经常用到的储能元件有电感、电容等。一、二阶系统标准形式令：则二阶系统标准式:－－无阻尼自然振荡频率；－－阻尼比二阶系统的特征方程为：系统的两个特征根（闭环极点）为特征根的性质取决于的大小，下面分四种情况讨论。特征根的[s]平面的分布情况见图1．欠阻尼情况:则二阶系统具有一对共轭复根：式中：——称为阻尼振荡频率特征根为：特征根为：共扼复数相等实数不等实数共扼虚数输入为单位阶跃信号，则系统输出量的拉氏变换为对上式进行拉氏反变换，可得单位阶跃响应：式中：欠阻

2、尼二阶系统的单位阶跃响应为一条衰减振荡曲线，包含在一对包络线之内。振荡频率为。越小，系统振荡越厉害，一般取0.5——0.8之间。一条幅值按指数衰减的阻尼振荡曲线2．临界阻尼情况（）由可知，此时系统有两个相等的实根对单位阶跃输入，系统输出的拉氏变换可写为响应曲线：一条单调上升的指数曲线3．过阻尼情况（）此时系统有两个不相等的负实根对单位阶跃输入，输出拉氏变换式写成部分分式为将上式拉氏反变换，得过阻尼情况时的时域响应：式中也是一条单调上升的指数曲线响应速度比临界阻尼缓慢4．无阻尼情况此时系统有一对共扼虚根这是一条等幅振荡曲线。重点控制系统的动态特性一．动态性能指标通常以系

3、统单位阶跃输入时的响应来定义时域性能指标。1．上升时间：阶跃响应曲线首次从零值上升到其稳态值所需的时间。（若无超调量，取稳态值10－90％）2．峰值时间：阶跃响应曲线第一次出现峰值的时间。3．超调量：阶跃响应超过稳态值的最大值与稳态值之比的百分数。下式中，为输出响应的最大值；为稳态值。4．调整时间（又称过渡过程时间）：响应曲线达到并保持与稳态值之差在预定的差值△内（又叫误差带）所需要的时间。一般△取±2%或±5%。二、二阶系统的动态响应性能指标（1）峰值时间因为整理得：为输出响应达到第一个峰值所需的时间，应取因为，得到与极点虚部成反比,ζ一定时,极点离实轴越远,越短。

4、（2）最大超调量因为最大超调量发生在峰值时间上，所以将代入得表明:二阶系统的最大超调量仅与阻尼比有关,ζ越大,越小。（3）调整时间ts欠阻尼情况下输出响应的衰减情况可以用包络线近似。（）求得当时，忽略（）()表明：调整时间与系统极点的实数值成反比。由于由决定，若不变，加大的数值，则可在不影响系统的情况下，加快系统的响应速度。（4）上升时间根据定义因为:必有：所以:其中上式表明：在一定的情况下，无阻尼自然振荡频率越大，系统的响应就越迅速。3.2二阶系统的瞬态响应小结阻尼比小：上升时间短，调整时间长，超调量大阻尼比大：上升时间长希望：上升时间短、调整时间短、超调量小，工程

5、上阻尼比一般取0.4－0.8。阻尼比为0.707称为最佳阻尼比.例3-2P67例题3-3P97通常把三阶以上的系统就称为高阶系统。一般近似为一个二阶系统来处理。设控制系统的闭环传递函数为阶跃响应3.3高阶系统的瞬态响应高阶系统阶跃响应曲线1.高阶系统时域响应的瞬态分量由一阶惯性环节和二阶振荡环节合成。2.响应曲线的类型（振荡情况）由闭环极点的性质所决定。3.闭环极点离虚轴愈近，其对系统的影响愈大。4.偶极子：同一位置或相距很近的闭环零、极点，对系统的影响很小。5.主导极点：如果系统中有一个极点（或一对复数极点）距虚轴很近，且附近没有闭环零点，而其他闭环极点与虚轴的距离

6、都比该极点与虚轴距离大5倍以上，这种离虚轴最近的闭环极点将对系统的动态响应起主导作用，并称其为闭环主导极点。例：三阶系统的闭环传递函数系统闭环极点：系统单位阶跃响应：实极点P3的实部和P1、P2的实部之比：所以P1、P2为一对主导极点。如果忽略P3对应的动态分量，两该系统的解相近：