量子电子学第三讲.ppt

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1、第二章量一维线性谐振子的量子化电磁场的量子化光子数态及其性质位相态产生、湮灭算符线性谐振子的Hamiltonian为：如果取：则：称为湮灭算符产生算符对易关系本征函数与本征值的本征值与本征态HH的本征矢粒子数表象中的表示哈密顿量算符本征函数？坐标与动量算符坐标表象表象体系的状态可以用坐标(x,y,z)的函数表示：1）波函数是坐标的函数2）力学量则用作用于坐标函数的算符表示。这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐

2、标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。坐标，动量，占有数等表象之间的变换：幺正变换电磁场的量子化Maxwell方程物质方程为电磁场的总能量选择Cartesian坐标系，使得单模电磁场沿z轴传播，电场振动方向（即偏振方向）在x轴方向上，则E=(Ex,0,0)，磁场振动方向在y轴上H=(0,Hy,0)，假定电磁场处于两镜腔内，沿x、y轴方向变化可忽略不计，则腔中单模电磁场的波动方程为单模电磁场可用分离变量法求解以上方程，可得到即有A为振幅，φ为初相，k为波矢，ω=kc为角频率。单模场处于两镜腔内，满足驻波条件

3、(2-1)其中V=LS为腔体体积，L为谐振腔的长度，S为谐振腔的横截面积，M为归一化因子（具有质量量纲）定义单模电磁场的广义坐标(具有长度量纲)则方程(2-1)可以表达为(2-2)(2-3)显然广义坐标Q(t)满足如下谐振子方程另一方面，由Maxwell方程和H=(0,Hy,0)有：故将(2-3)式代入上式，得到利用上式可以写成2-4引入场的广义动量（具有动量量纲）光腔体积内的电磁场能量为利用(2-4)和(2-5)两式，得到(2-5)(2-6)(2-7)将(2-3)和(2-6)式代入上式，利用驻波条件得因此电磁场的哈密顿量为：这跟质量为M、频率为ω的简谐振子

4、的哈密顿量相同。把Q(t)看作广义坐标，把P(t)看作广义动量。(2-8)电磁场的量子化：在场的量子化中，把经典的广义坐标－广义动量共轭对Q和P换成对应的算符，且让它们满足对易关系：(2-9)描述电磁场粒子性引入新的算符或相应的有：(2-10)(2-11)将(2-11)和(2-8)式，电磁场的Hamiltonian算符为于是电磁场算符可以表达为：多模电磁场对应多个不同频率的单模电磁场的叠加，它是Maxwell方程组的一般解。因此在与前面相同的条件下，多模电磁场可以表达为其中s=1,2,…，而是第s个模（纵模）的广义坐标和广义动量多模电磁场量子化之后，经典力学

5、量换成对应的算符，由此得到多模电磁场的Hamiltonian算符为：其中为第s模的Hamiltonian算符：广义坐标算符与广义动量算符满足以下对易关系：与单模电磁场相似，引入光子的湮灭算符和产生算符分别如下：根据坐标算符与动量算符之间的对易关系，可以求得：用表示第s模的粒子数算符本征态，则有对于多模辐射场，假设第s个模中有ns个光子（s=1,2,…，ns=0,1,2…），则粒子数算符的本征态矢可以写成所有单模本征态矢的张量积（并式矢）则有利用上式可得即多模电磁场的总能量等于各个单模能量之和。第s模的产生和湮灭算符只对第s模的本征态作用，故有光子数态（Foc

6、k态）2012诺贝尔物理学奖法国科学家塞尔日·阿罗什(SergeHaroche)与美国科学家大卫·维因兰德(DavidWineland)获奖。获奖理由是“发现测量和操控单个量子系统的突破性实验方法”。光子数的非破坏性测量SergeHaroche在一般的量子测量中，测量将改变（或破坏）系统原来的状态。例如，利用光电探测器探测量子光场的光子数，光电探测器将吸收光场的光子，从而改变了光场原来的量子态。借助于腔量子电动力学方法，可以达到不吸收光子而能够确定腔场光子数的目的。这属于所谓的量子非破坏性测量。光子数态的性质对于单模光子数态

7、n>，电场算符的期望值为：场的强

8、度的期望值为：注意，这里的z是指特定的位置。下图表示单模光子数态

9、n>的振荡电场是时间的函数（单模下每个正弦波的振荡频率都一样），最大振幅是确定的，但相位在0～2π之间完全随机分布，即相位是混乱的，完全不确定的。位相态相位一般表示定义：位相算符对易关系：可见：光子位相算符作用于光子数态后，使光子数增加或减少1个光子，位相算符的矩阵表示：因此，在光子数表象中，位相算符的矩阵元是非对角化的。因此，位相不具有确定的值。量子化电磁场的粒子数与位相不能同时准确测量单模位相态的光场随时间变化的情况，相位完全确定，振幅在0～∞之间变化，因而完全不确定位相态可见：指数位相算

10、符的引入，使场算符包含了光子算符与位相算符两部分。