用一元二次方程解决问题

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1、用一元二次方程解决问题【学习目标】： 1.根据实际问题会列一元二次方程，并求出实际问题的解； 2.根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性； 3.体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法。 【学习重点】：体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力。【学习难点】：如何把实际问题转化为数学模型。【知识要点】：   知识点1：基本知识（1）一元二次方程的一般形式：（2）一元二次方程的解法：开平方法；分解因式法；配方法；公式法。（3）判别式：①当判别式时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程没有实数根；当判别式时，方程有两个相等的实数根。 （4）根与系

2、数的关系：设一元二次方程的二根分别为，则，知识点2：列方程解决问题的一般步骤   （1）“审”。阅读理解题意，确定已知，未知，以及它们之间的数量关系。   （2）“设”。在审题的基础上设立未知数帮助理解，建立相等的数量关系。   （3）“列”。根据题意，列出含有未知数的等式。   （4）“解”。就是求出所列方程的解。   （5）“检”。就是解应用题既要检验有无增根，又要检验是否符合题意。   （6）“答”。就是书写答案。但要注意，求出解后，要进行检验。   知识点3：列一元二次方程解决实际问题的常见题型   （1）平均增长（降低）率问题（包括百分率，折旧率，利息率）（2）营

3、销问题   （3）面积问题（4）数字问题（5）几何问题（6）开放题型的讨论【典型例题】例1：已知一元二次方程的一根是另一根的两倍，求方程的两根和的值。 解：设方程的两根分别为和，则： 从而，，。所以方程的两根为和，的值为。例2：当为何值时，方程组（1）有两个相同的实数解？（2）有两个不相同的实数解？（3）没有实数解？解：由②得把③代入①，得 化简得 要使方程组有两个相同的实数解或两个不相同的实数解或没有实数解，只要方程④有相等实数根或有不相等的实数根或没有实数根，因此，它的判别式就会相应地等于零或大于零或小于零。 方程④的判别式为 （1）当，即当时，方程组有两个相等的实数解

4、；（2）当，即当时，方程组有两个不相同的实数解；（3）当，即当时，方程组没有实数解； 例3：一种药品经两次降价，由每盒60元调至52元，平均每次降价的百分率是多少？（精确到1%） 解：设平均每次降价的百分率为。则               答：每次降价的百分率约为7%。 例4：小明同学将100元压岁钱第一次按一年期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中50元捐给“希望工程”，剩余的全部按一年定期存入，这时存款的年利率调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后，可得本金和利息共63元，求第一次存款时的年利率。解：设第一次存款时间利率为。    解之：，（舍去）

5、    答：第一次存款的年利率为10%。 例5：汽车交易市场有一辆原价为12万元的车，但已使用三年，如果第一年的折旧率为20%，以后其折旧率有所变化，现知第三年这辆轿车值7.776万元，求这辆轿车第二年，第三年平均的折旧率。解：设这辆轿车的第二、第三年平均折旧率为。       ∴，（舍去）   答：平均折旧率为10%。 例6：一小区在一个长为40m，宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为，求甬路的宽度。       解：设甬道宽为。有 或 解之，得： 所以甬路的宽度为2。  例7：甲乙

6、二人合做一项工作，甲因有事迟来了一天，又过3天才完成这项工作，若单独完成这项工作，甲比乙慢3天。求单独完成这项工作各需多少天？ 解：设甲单独完成这项工作需要天，则乙为（）天，根据题意得方程： 化简整理，得： 所以， 经检验都是原方程的根，而不合题意，舍去。 所以（天）答：若单独完成这项工作，甲需要9天，乙需要6天。 例8：有一块矩形的铁片，在它的四个角落各剪去一个边长是4cm的小正方形，然后把四边折起来，恰好做成一个没盖的盒子，已知铁片的长是宽的2倍，做成的盒子容积是1536cm3，求这块铁片的长和宽。   解：设铁片的宽为，则长为∴    整理，得   解得，（舍去）当时

7、，   答：铁片的宽为20，长为40。 例9：友谊商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平时每天能售出8台，而当销售价降低50元时，平均每天就能多售出4台，该商场要想使这种冰箱销售利润每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？解：设每台冰箱降价元，依据题意得：解之：，    答：每台冰箱的定价为2750元。 例10：一个容器中盛满的纯药液，倒出纯药液后，用水加满，再倒出等量的液体，再用水加满，此时容器中的药液与水之比为，问每次倒出液体多少升？   解：设每次倒出液体