2014年高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类汇编：推理与证明.docx

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1、数学推理与证明M1合情推理与演推理16．，[2014·福建卷]已知集合＝2；③c≠0有且只有一个正确，{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①100a＋10b＋c等于________．a≠2；②b16．201[解析](i)若①正确，②③不正确，由③不正确得c＝0，由①正确得a＝1，所以b＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．(ii)若②正确，①③不正确，由①不正确得a＝2，与②正确矛盾，故②不正确．(iii)若③正确，①②不正确，由①不正确得a＝2，由②不正确及③正确得b＝0，c＝1，故③正确．则100a＋10b＋c＝100×2

2、＋10×0＋1＝201.14．[2014全·国新卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被到是否去A，B，C三个城市，甲：我去的城市比乙多，但没去B城市．乙：我没去C城市．丙：我三人去同一城市．由此可判断乙去的城市________．14．A[解析]由甲没去B城市，乙没去C城市，而三人去同一城市，可知三人去城市A，又由甲最多去两个城市，且去的城市比乙多，故乙只去A城市．x，x≥0，若f114．[2014·西卷陕]已知f(x)＝1＋x(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，f2014(x)的表达式________．14.x[解析]由意，得f1x，1

3、＋2014x(x)＝f(x)＝1＋xxf2(x)＝1＋x＝xx，⋯，x，f3(x)＝1＋2x1＋3x1＋1＋x由此推理可得f2014(x)＝x.1＋2014xM2直接明与接明21．、[2014·湖南卷]已知函数f(x)＝xcosx－sinx＋1(x＞0)．(1)求f(x)的区；(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点，明：一切n∈N*，有12＋12＋⋯＋12＜x1x2xn23.21．解：(1)f′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈N*)．当x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)，

4、sinx>0，此f′(x)<0;当x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)，sinx<0，此f′(x)>0.故f(x)的减区(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)，增区((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)．π＝0，故x1＝π.(2)由(1)知，f(x)在区(0，π)上减．又f22当n∈N*，因f(nπ)f[（n＋1）π]＝[(－1)nnπ＋1][(－1)n＋1(n＋1)π＋1]＜0，且函数f(x)的像是不断的，所以f(x)在区(nπ，(n＋1)π)内至少存在一个零点．又f(x)在区(nπ，(n＋1)π)上是的，故nπ＜xn＋1＜(n＋1

5、)π.因此，当n＝1，1＝4＜2；x12π23当n＝2，12＋12＜12(4＋1)＜2；x1x2π3当n≥3，12＋12＋⋯＋12<14＋1＋12＋⋯＋1212xnπ22（n－1）xx＜15＋1＋⋯＋1＜1π2（n－2）（n－1）π21×25＋1－1＋1－1＋⋯＋1－1223n－2n－1＝126－1＜62＜2.n－π1π3上所述，一切n∈N*，1＋1＋⋯＋1＜2x2x22.12x3nM3数学法23．、[2014·江卷]已知函数0sinxnn－1*.f(x)＝x(x>0)，f(x)为f(x)的数，n∈Nπππ(1)求2f12＋2f22的；(2)明：任意

6、的n∈N*，等式nfn－1ππfnπ2都成立．＋4＝44223．解：(1)由已知，得10sinx′＝cosx－sinx，f(x)＝f′(x)＝xxx2于是f2(x)＝f1′(x)＝cosxsinxx′－x2′＝－sinx－2cos2x＋2sin3x，xxx所以f1π＝－42，f2π＝－2＋162π2ππ3.πππ故2f12＋2f22＝－1.(2)明：由已知得，xf(x)＝sinx，等式两分x求，得f(x)＋xf′(x)＝cosx，000π即f0(x)＋xf1(x)＝cosx＝sinx＋2.似可得2f1(x)＋xf2(x)＝－sinx＝sin(x＋π)

7、，3f2(x)＋xf3(x)＝－cosx＝sinx＋3π，24f3(x)＋xf4(x)＝sinx＝sin(x＋2π)．下面用数学法明等式nfn－1nnπ所有的n∈N*都成立．(x)＋xf(x)＝sinx＋2(i)当n＝1，由上可知等式成立．(ii)假当n＝k等式成立，即kf(x)＋xf(x)＝sinx＋kπk－12.k因[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kfk－1′(x)＋fk(x)＋xfk′(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，sinx＋kπ′＝cosx＋kπ·x＋kπ′＝sinx＋（k＋1）π，2222（k＋1）π所以(k＋1)fk

8、(x)＋xfk＋1(x)＝sinx＋2，因此当n＝k＋1，等式也成立．合(i)(ii)可知，等式nfn－1(