高中数学竞赛标准教材讲义几个初等函数的性质教案.docx

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1、第四章几个初等函数的性质一、基知1．指数函数及其性：形如y=ax(a>0,a1)的函数叫做指数函数，其定域R，域（0，+∞），当0<<1，=x是减函数，当a>1，=x增函数，它的象恒定点（0，1）．ayaya1m1n,am12．分数指数：anna,annam,ann．3．数函数及其性：形如y=logax(a>0,aanam1)的函数叫做数函数，其定域（0，+∞），域R，象定点（1，0）．当01，y=logax增函数．4．数的性（M>0,N>0）；1）ax=Mx=logaM(a>0,a1)；2

2、）loga(M)=aM+loga；NlogN3）log（M）=logM-log；4）lognM；，M=aNaaaa5）loganM=1logaM；6）alogaM=M;7)logab=logcb(a,b,c>0,a,c1).nlogca5.函数y=x+a（a>0）的增区是,a和a,，减区a,0和x0,a．（者自己用定明）6．函数的性：若<,f(x)在[a,]上，且f(a)·(b)<0，f(x)=0在（,）abbfab上至少有一个根．二、方法与例1．构造函数解．例1已知a,b,c∈(-1,1)，求：ab+bc+ca+1>0.【明】

3、设f(x)=(b+c)x+bc+1(x∈(-1,1))，f(x)是关于x的一次函数．所以要原不等式成立，只需f(-1)>0且f(1)>0（因-10，bcf(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0，所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.nn例2（柯西不等式）若a,a,⋯,a是不全0的数，b,b,⋯,b∈R，（ai）·（bi）12n12n22i1i1n2≥(aibiibi,i=1,2,⋯,n成立．)，等号当且当存在R，使a=i1nai2）x2-2(

4、nnbi2nbi)2【明】令f(x)=（aibi)x+=(aix,i1i1i1i1n2因ai>0，且任意x∈R,f(x)≥0，i1nnn所以△=4(aibi)-4（ai2）(bi2)≤0.i1i1i1nnn展开得（ai2）(bi2)≥(aibi)2．i1i1i1等号成立等价于f(x)=0有根，即存在，使i=bi,i=1,2,⋯,n．a例3设x,y∈R+,x+y=c,c常数且c∈(0,2]，求u=x1y1的最小．xy用心爱心专心【解】u=x1y1=xy+xy1≥xy+1+2·xyxyyxxyxyyx=xy+1+2.xy令xy=t，

5、则0

6、即1+.33记x=q12t4t15.，则1+x=x2，解得x2p9t3又q>0，所以q=15.pp2例5对于正整数a,,(a≤b≤c)和实数x,y,z,，若x=y=z=70w，且bcwabc求证：+=.abc1111，xyzw【证明】xyzw由a=b=c=70取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以1lga=1lg70,1lgb=1lg70,1lgc=1lg70，wxwywz相加得1(lga+lgb+lgc)=111lg70，由题设1111，wxyzxyzw所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc

7、=lg70.所以abc=70=2×5×7.若a=1，则因为xlga=wlg70，所以=0与题设矛盾，所以>1.wa又a≤b≤c，且a,b,c为70的正约数，所以只有a=2,b=5,c=7.所以a+b=c.且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab.例6已知x1,ac1,a1,c1.【证明】由题设logx+logx=2logx，化为以a为底的对数，得acblogax2logaxlogax，logaclogab22logab因为ac>0,acaac1，所以logb=logc，所以c=(ac).注：指数与对数

8、式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁．3．指数与对数方程的解法．解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解．值得注意的是函数单调用心爱心专心性的应用和未知数范围的讨论．例7解方程：3x+4x+5x=6x.xx5xxx5【解】方程可化为1