2014届高考数学(理科)二轮复习专题讲义：专题三 第2讲 数列的综合应用.doc

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1、2014届高考数学（理科）二轮复习专题讲义：专题三第2讲数列的综合应用数列求和一、基础知识要记牢数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、错位相减法、裂(拆)项相消法、分组法、倒序相加法和并项法等．二、经典例题领悟好[例1]　已知函数f(x)＝x2＋bx为偶函数，数列{an}满足an＋1＝2f(an－1)＋1，且a1＝3，an>1.(1)设bn＝log2(an－1)，求证：数列{bn＋1}为等比数列；(2)设cn＝nbn，求数列{cn}的前n项和Sn.[解]　(1)∵函数f(x)＝x2＋bx为偶函数，∴b＝0，∴f(x)＝x2，∴an＋1＝2f(an－1)＋1＝2(an－1)

2、2＋1，∴an＋1－1＝2(an－1)2.又a1＝3，an>1，bn＝log2(an－1)，∴b1＝log2(a1－1)＝1，∴＝＝＝＝2，∴数列{bn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．(2)由(1)得，bn＋1＝2n，∴bn＝2n－1，∴cn＝nbn＝n2n－n，设An＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，则2An＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，∴－An＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2，∴An＝(n－1)2n＋1＋2.设Bn＝1＋2＋3＋4＋…＋n，则Bn＝，∴Sn＝An－Bn＝(n－1)2n＋1＋2－.(1

3、)利用错位相减法求和时，应注意：①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应注意两式“错项对齐”；②当等比数列的公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论.(2)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩第一项和最后一项，也可能前面剩两项，后面也剩两项.三、预测押题不能少1．设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且3a2是a1＋3和a3＋4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<.解：(1)由已知，得解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，则a1q＝2，∴a1＝，a3＝a1q2＝2q.由S3＝

4、7，可知＋2＋2q＝7，∴2q2－5q＋2＝0，解得q1＝2，q2＝.由题意，得q>1，∴q＝2.∴a1＝1.故数列{an}的通项公式为a2＝2n－1.(2)证明：∵bn＝＝＝－，∴Tn＝＋＋－＋…＋＝－＝－<.数列在实际问题中的应用一、经典例题领悟好[例2]　某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与a

5、n的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．[解]　(1)由题意得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4500－d.an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.(2)由(1)得an＝an－1－d＝－d＝2an－2－d－d…＝n－1a1－d.整理得an＝n－1(3000－d)－2dn－1－1＝n－1(3000－3d)＋2d.由题意，am＝4000，即m－1(3000－3d)＋2d＝4000.解得d＝＝.故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金

6、为4000万元．数列应用题常见模型(1)等差模型：即问题中增加(或减少)的量是一个固定量，此量即为公差．(2)等比模型：即问题中后一量与前一量的比是固定常数，此常数即为公比．(3)an与an＋1型，即问题中给出前后两项关系不固定，可考虑an与an＋1的关系．二、预测押题不能少2．某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2013年1月的产值都为a万元，甲企业每个月的产值比前一个月的产值增加的数值相等，乙企业每个月的产值比前一个月的产值增加的百分数相等，到2014年1月两个企业的产值又相等．(1)到2013年7月，试比较甲、乙两个企业的产值的大小，并说明理由；(2)甲企业为了提高产能，决定用3.2万

7、元买一台仪器，从2014年2月1日投放使用，从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元(n∈N*)，求前n天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最小时使用了多少天．解：(1)到2013年7月甲企业的产值比乙企业的产值大．理由如下：设从2013年1月到2014年1月甲企业每个月的产值(单位：万元)分别是a1，a2，…，a13，乙企业每个月的产值(单位：万元)分别是b1，b2，…，b13，由题意知{a