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1、椭圆及其标准方程山东省诸城繁华中学数学组崔伯青一、教案背景:本章是学生学习了直线与圆的方程的基础上，进一步用坐标法来研究曲线。而椭圆又是研究圆锥曲线的重点，通过对求椭圆方程，使学生掌握推导这类轨迹方程的一般规律和化简的常用技巧，让学生掌握解析几何的基本方法和思想。二、教材分析1、地位与作用椭圆是后继学习其它圆锥曲线的基础,是用坐标法求曲线方程的应用实例，它实现了数与形的相互转化。双曲线、抛物线方程的推导可以类比椭圆的标准方程的推导方法，为后继内容的学习提供了方法和思路，所以本节课具有不可替代的作用。2、教材处理：本节课内容的学习主
2、要采用学生自主探究学习的方式,使学生在课堂上动手实验、观察、归纳、推理，教师在教学中起着一个组织、引导、服务、协调的作用，引导学生逐个突破难点，培养学生的探索精神和创新能力，让学生再自主学习、合作探究的氛围中完成问题，掌握各种数学基本技能，培养其学习数学的浓厚愿望和兴趣。3、学习目标：(1)知识与技能①使学生掌握椭圆的定义、标准方程的推导和标准方程；②了解求曲线方程的基本方法，体会数形结合的数学思想。（2）能力目标①培养学生观察、归纳、分析探索能力；②提高运用坐标法解决解析几何问题的能力；③提高学生的运算能力。三、教学过程教学过程
3、设计意图1、观看视频：嫦娥一号奔月运行轨迹嫦娥一号奔月运行历程问题1：圆的几何特征是什么？（学生：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）问题2：平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是什么？2、概念形成1F2M取一条一定长的细绳和一画板，将绳的两端固定在画板上的F1和F2两点，当绳长大于F1和F2两点间的距离时，用铅笔尖将绳子拉紧，使笔尖在画板上移动，观察动点运动的轨迹。F学生概括椭圆定义：平面内到两定点F1和F2的距离之和等于常数（大于
4、F1F2
5、）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距
6、。问题3：若常数=
7、F1F2
8、，动点的轨迹是什么？若常数＜
9、F1F2
10、，动点的轨迹是什么？学生通过视频感知椭圆，激发其求知欲。复习旧知识，提出新问题。学生动手实验，观察椭圆的形成过程，并引导其观察、归纳、概括椭圆定义学生语言表述椭圆定义，其他同学补充完善。学生小组内进行合作探究，强化对椭圆概念的理解。练习：已知F1,F2是定点，
11、F1F2
12、=8,动点M满足
13、MF1
14、+
15、MF2
16、=8，则点M的轨迹是A、椭圆B、直线C、圆D、线段3、椭圆方程的推导（1）建系并设点如何选择适当的坐标系来建立椭圆的方程呢？（学生可能的建系方法有如下几种：
17、）点评：建系一般应遵循对称、简洁原则如：以两定点F1和F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。设
18、F1F2
19、=2c(c>0)，M(x,y)为椭圆上任意一点，则有F1(-c，0),F2(c,0)（2）点的集合由定义得椭圆上的点的集合为P={M
20、
21、MF1
22、+
23、MF2
24、=2a}（3）列方程（4）化简方程整理得（a2-c2）x2+a2y2=a2(a2-c2)即（*）进一步加深理解椭圆定义。回顾求曲线方程的一般步骤。学生讨论思考如何建立坐标系并说明理由。这样有利于培养学生的动手实验，分析比较，相互协作等能力，让学
25、生在相互合作中获取知识。学生再一次进行建系方法的选择，提高学生的比较鉴别能力。分小组进行方程的化简：焦点在x轴与焦点在y轴的椭圆方程。教师适当引导方程的化简技巧。MyxoF1F2问题4：你能从下图中找出表示a,c，的线段吗？因为a>c>0，所以a2-c2>0设a2-c2=b2（b>0），则（*）式化为即为焦点在x轴上的椭圆的标准方程。鼓励学生动脑思考强调b的几何意义进一步强调取曲线方程的基本步骤4、标准方程比较标准方程图形焦点坐标F1(-c,0），F2(c,0）F1(0,c），F2(0,-c)、、的关系焦点位置的判断标准方程中，哪
26、个项的分母大，焦点就在哪那个轴上。让学生体会两种椭圆方程，知识位置的不同，图形是一致的。通过对比，进一步加深对两种方程形式的理解。5、应用例1、根据下列条件，求椭圆的标准方程:（1）两个焦点的坐标分别是（-3，0）、（3，0），椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于8；（2）两个焦点的坐标分别为（0.-4），（0，4），并且椭圆经过点。（3），焦点在轴上；（4），焦点在轴上；跟踪练习：根据下列条件，求椭圆的标准方程:(1)焦点坐标为（-5,0）和（5,0），椭圆上一点与两焦点的距离之和为26（2）焦点坐标为，且经过点例2、求下列方程表
27、示的椭圆的焦点坐标：（1）（2）跟踪练习：已知椭圆的两个焦点分别是，在添加什么条件，可得这个椭圆的方程为。6、学习小结（写出本节课你的所学、所思、所悟、所疑）通过应用练习，进一步理解椭圆定义，熟练掌握椭圆标准方程的的求法。学生进行知识点、数学思想方
