相似三角形的性质(基础) 知识讲解.doc

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1、相似三角形的性质（基础）知识讲解【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算.2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3.相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4.相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则要点诠释：相似三

2、角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.　　要点诠释：　1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺=图上距离/实地距离;　　2．太

3、阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4.仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、相似三角形的性质1.△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.【答案与解析】设另两边长是xcm，ycm，且x＜y.　　　　(1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，　　　　　从而x=cm，y=cm.　　　　(2)当△DEF中长

4、4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，　　　　　从而x=cm，y=cm.　　　　(3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，　　　　　从而x=cm，y=cm.　　　　综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.【总结升华】一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类.举一反三【变式】如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.【答案】在和中，，　　　　.　　　　又∵ ∽，相似比为.　　　　的周长为，的面积是 .2.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于

5、△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.　　　　　　　　【答案与解析】∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，∴.∴EF=6cm，EH=12cm.∴【总结升华】解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.举一反三：【变式】有同一三角形地块的甲、

6、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.　　　　∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2　　　　且，，　　　　∴，　　　　∴.类型二、相似三角形的应用3.如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽)，你有什么方法？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【答案与解析】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在

7、同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？　　∵AB⊥BC，CD⊥BC　　　　∴∠ABO=∠DCO=90°　　　　又∵∠AOB=∠DOC　　　　∴△AOB∽△DOC.　　　　∴　　　　∵BO=50m，CO=10m，CD=17m　　　　∴AB=85m　　即河宽为85m．【总结升华】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.4.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的