广东北江中学文数综合演练.doc

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1、4．福州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高底不低于米，记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y（米）。（1）求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；（2）要使防洪堤横断的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？（3）当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值。5．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（1

2、）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围。6．记函数（1）若函数处取得极值，试求a的值；（2）若函数有两个极值点，且，试求a的取值范围；（3）若函数成立，试求a的取值范围。（参考：）7．（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求二面角的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．8．（本小题满分12分）

3、已知函数的导函数′，数列的前项和为，点均在函数的图象上．（Ⅰ）求数列的通项公式及的最大值；（Ⅱ）令，其中，求的前项和．9．（本小题满分12分）某企业2005年的利润为500万元，因设备老化等原因，若不进行技术改造，预计企业利润将从2006年开始每年减少20万元．为此企业在2006年一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第年利润为万元．（1）若不进行技术改造，则从2006年起的前年的利润共万元；若进行技术改造后，则从2006年起的前年的纯利润（扣除技术改造600万元资金）共万元，分别求；（

4、2）依据预测，从2006年起至少经过多少年技术改造后的纯利润超过不改造的利润？10．（本小题满分14分）设函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）设，当时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围．11．（本题14分）已知函数f（x）=lnx-ax（aR）．（1）求f（x）的单调增区间；（2）若a=1且b0,函数g（x）=bx3-bx,若对任意的x1（1,2）,总存在x2（1,2）,使f（x1）=g（x2），求实数b的取值范围。19．解：（Ⅰ）连，设交于于，由题意知．以为坐标原点，，分别为轴、轴、轴

5、正方向，建立坐标系如图．设底面边长为，则高．于是所以·故从而（Ⅱ）由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则，所求二面角的大小为（Ⅲ）在棱上存在一点使．由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，且设，则而即当时，而不在平面内，故20．解：（Ⅰ）′由′得：，所以…………………2分又因为点均在函数的图象上，所以有当时，当时，……………4分令得，当或时，取得最大值12综上，，当或时，取得最大值12………………6分（Ⅱ）由题意得…………………………8分所以，即数列是首项为，公比是的等比数列故的前项和…………………………

6、……………①…………………………………②所以①-②得：…………………………………………10分……………………………………………12分21．（1）设不进行技术改造，从2006年起，第年的利润为,则是首项为480万元公差万元的等差数列…………………………………………………………2分前年的利润……………………………………………………………5分又技术改造后，第年的利润为前年的纯利润：………………………………………6分………………………………………………………8分（2）由得得又………………………………………………………………………

7、10分得………………………………………………………………………11分答：至少经过4年技术改造后的利润超过不改造的利润………………………12分22．解：（1）′，………………………………………………2分因为且′，所以曲线在点处的切线方程为：…………………………4分（2）令′，所以，当时，，此时在上单调递减，在上单调递增；……………………6分当时，，此时在上单调递增，在上单调递减．……………………8分（3）当时，在上单调递减，在上单调递增，所以对任意，有，………………………………………9分又已知存在，使，所以，即存在，使，即

8、，…………11分即因为当，，所以，即实数取值范围是．………………………14分22．（1）f（x）=lnx-ax∴x>0即函数f（x）的定义域为（0，+），∴a0时，f（x）在（0，+）上是增函数．a>0，∵f′（x）=∵f′（x）>0,则1-ax>0,ax<1,x<即a>0时,f（x）在（0，）上是增函数．∴a0时f