2021高三数学二轮复习专题《函数中恒成立与存在性问题》解析版.docx

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1、专题5函数中恒成立与存在性问题一、函数中恒成立与存在性问题知识框架二、函数中恒成立问题【一】分离参数法利用分离参数法来确定不等式,（,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:①将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式；②求在上的最大（或最小）值；③解不等式(或),得的取值范围.1.例题【例1】不等式对任意恒成立，则实数的取值范围（）A．B．C．D．【解析】对恒成立，即对恒成立，从而求，的最小值，而故即当时，等号成立，方程在内有根，故，所以，故选D.【例2】已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线的斜率为．(1)求实数的值；(2)若对任意成立

2、,求实数的取值范围.【解析】(1)∵,∴,又∵的图象在点处的切线的斜率为,∴,即,∴；(2)由（1）知,,∴对任意成立对任意成立,令,则问题转化为求的最大值,,令,解得,当时,,∴在上是增函数；当时,,∴在上是减函数．故在处取得最大值,∴即为所求.2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数,,其中且,．(1)若,且时,的最小值是－2,求实数的值；(2)若,且时,有恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)∵,∴易证在上单调递减,在上单调递增,且,∴,,∴当时,,由,解得（舍去）当时,,由,解得.综上知实数的值是.(2)∵恒成立,即恒成

3、立,∴.又∵,,∴,∴恒成立,∴.令,∴.故实数的取值范围为.【练习2】若，恒成立，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设,则，原不等式等价于恒成立，设是单调递增的，零点为,函数y的最小值为1，故，，零点是在上单调递增，故，故.故选C.[来源:学科网ZXXK]【练习3】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，即，当时，，当时，，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以.当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C.【二】函数性质法利用

4、函数性质求解恒成立问题，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值。因含有参数，大多要分类讨论.①∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A；②∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则f(x)maxg(x)恒成立,则F(x)=f(x)-g(x)>0,∴F(x)min>0；④∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)=f(x)-g(x)<0,∴F(x)max<0；⑤∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)>g(x2)恒成立,则f(x)min>g(x)max；⑥∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)

5、)恒成立,则f(x)max

6、∞)，当恒成立时实数m的最大值为1，则实数a的取值范围是．【解析】对任意x∈[1，＋∞)，有f(x)≥mx恒成立，即恒成立，即，又当f(x)≥mx恒成立时实数m的最大值为1，所以.因为所以问题等价转化为在上恒成立，即在上恒成立.设（），①当时，因为，所以，因此在上是单调递增函数，所以，即在上恒成立；②当时，在上，有；在上，有，所以在上为单调递减函数，在上为单调递增函数.当，有，即在上不恒成立.综合①②得：实数的取值范围是.2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为所以即，即

7、当时，恒成立，所以在内是一个增函数，设，则有即，设则有，当时，即，当时，即所以当时，最小，即，故选D.【练习2】已知定义在上的偶函数在上递减，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题设可得，则原不等式可化为，即，也即在上恒成立，由于，因此，令，则，所以当时，，函数单调递减，因，故函数在上单调递减，故，当时，函数，所以，应选答案D.【练习3】若，满足恒成立，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】（1），显然成立；（2）时，由，由在为增在恒成立，由在为增，，，综上，，故答案为.【三】数形结合法对于参数

8、不能单独放在一侧的,即不能用分离参数法解决问题时，可以利用函数图象来解：利用数形结合解决恒成立