2020_2021学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交点学案含解析北师大版选修2_1.doc

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1、4．2　圆锥曲线的共同特征4．3　直线与圆锥曲线的交点授课提示：对应学生用书第48页一、圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.当01时，圆锥曲线是双曲线；当e＝1时，圆锥曲线是抛物线．二、曲线的交点由曲线方程的定义可知，对于曲线C1：f(x，y)＝0和曲线C2：g(x，y)＝0，由于M(x0，y0)是C1与C2的一个交点⇔f(x0，y0)＝0且g(x0，y0)＝0，所以，求两条曲线C1与C2的交点，就是求方程组的实数解．三、方程组的解与曲线交点的关系方程组有几组不同的实数解，两条曲线

2、就有几个不同交点；方程组没有实数解，两条曲线就无交点．[想一想]1．直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点．反之，直线与圆锥曲线只有一个交点时，一定相切，这种说法对吗？为什么？提示：直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点，是正确的．但直线与圆锥曲线只有一个交点时，不一定相切．因为直线与双曲线、抛物线只有一个交点时，还有相交的情况，若直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都属直线与双曲线、直线与抛物线相交．[练一练]2．已知动点P(x，y)满足＝·，则动点P的轨迹是(　　)A．椭圆　　　　　　　　B．双曲线C．抛物线D．直线解析：点P(x，y

3、)到直线3x－4y－1＝0的距离为d＝；点P(x，y)到A(1,5)的距离为

4、PA

5、＝，∴＝3>1，∴动点P的轨迹是双曲线．答案：B授课提示：对应学生用书第48页探究一　　圆锥曲线的共同特征及应用[典例1]　已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4,2)，求

6、PA

7、＋

8、PF

9、的最小值，并求出取最小值时，P点坐标．[解析]　如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，则

10、PA

11、＋

12、PF

13、＝

14、PA

15、＋

16、PN

17、≥

18、AB

19、，当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．∴(

20、PA

21、＋

22、PF

23、)min＝

24、AB

25、＝4＋1＝5.此时yP＝2，代入

26、抛物线得xP＝1，∴P(1,2)．利用抛物线定义解决有关最值问题(1)要将问题利用定义首先转化为几何知识．(2)注意挖掘题目中隐含条件，还要注重数形结合的应用．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．试在抛物线y2＝4x上求一点A，使A到点B(，2)与到焦点的距离之和最小．解析：由已知易得点B在抛物线内，＝1，准线方程x＝－1，过B作BC′⊥准线l于C′，直线BC′交抛物线于A′，则

27、A′B

28、＋

29、A′C′

30、为满足题设的最小值．因为C′B∥x轴，B点坐标为(，2)，所以A′点坐标为(x,2)．又因点A′在抛物线上，所以x＝＝1，所以A

31、′(1,2)即为所求A点，此时最小值为

32、BC′

33、＝＋1.2．曲线上的点M(x，y)到定点F(5,0)的距离和它到直线l：x＝的距离之比是常数，(1)求此曲线方程；(2)在曲线求一点P使

34、PF

35、＝5.解析：(1)设d是点M到定直线l的距离，根据题意，曲线上的点M满足＝，由此得＝，即＝，两边平方整理得－＝1.(2)设P(x，y)到l的距离为d，由

36、PF

37、＝5，得d＝4.即＝4，解得x＝或x＝－.由于

38、x

39、≥4，故x＝－不合题意，舍去．由x＝得y＝±.∴点P的坐标为.探究二　直线与圆锥曲线的公共点问题[典例2]　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值

40、时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[解析]　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组，将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ

41、＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线的方程为F(x，y)＝0，由，消元(如y)后，得ax2＋bx＋c＝0.(1)若a＝0，直线与圆锥曲线有一个公共点，当直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，把直线方程代入相应圆锥曲线方程后得到的方程是一次方程，因此，直线和圆锥曲线只有一个交点，但不相切．(2)若a≠0，设Δ＝b2－4ac，①Δ>0时，相交于两点；②Δ＝0时，相切于一点；③Δ<0时，无公共点．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

42、　　　　　　　3．已知点