不等式的证明方法(下).doc

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1、考点6、数学归纳法对于含有的不等式，当取第一个值时不等式成立，如果使不等式在时成立的假设下，还能证明不等式在时也成立，那么肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立.例1、已知：，，，求证：.考点7、判别式法通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式.例2、设，且，求证：.练习、为的内角，为任意实数，求证：考点8、标准化法形如的函数，其中，且为常数，则当的值之间越接近时，的值越大（或不变）；当时，取最大值，即.标准化定理：当为常数时，有.例3、设为三角形的三内角，求证：.考点9、等式法应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不

2、等式的证明.例4、为的三边长，求证：.考点10、构造法在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数、向量等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的.例5、已知：，，求证：.例6、设，求证：.构造向量法证明不等式：根据已知条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等式关系，就能避免复杂的凑配技巧，使解题过程简化．应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握．例7、设，且，求证：构造解析几何模型证明不等式:如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何模型，化数为形，利用数学模型的直观性，将不等式

3、表达的抽象数量关系转化为图形加以解决．例8、设，求证：练习1、已知的三边长是，且，求证：练习2、已知，求证：考点11、导数法当属于某区间，有，则单调递增；若，则单调递减.推广之，若证，只须证及即可.例9、证明不等，参考答案：例1、证明（1）当时，，不等式成立；（2）若时，成立，则=，即成立.根据（1）、（2），对于大于1的自然数都成立.例2、证明设，则代入中得，即因为，，所以，即，解得，故练习、证明构造函数，令为开口向上的抛物线无论为何值，，所以，故例3、证明由标准化定理得，当时，，取最大值，故.例4、证明由海伦公式，其中.两边平方，移项整理得而,所以.例5、证明依题设，构造复数，，则，所以故

4、.例6、证明视为自变量，构造一次函数由知表示一条线段．又，.可见上述线段在横轴及其上方,所以,即.例7、证明构造向量.设和的夹角为，其中．,;另一方面，而,所以，从而yxx＋y=02ABDCO例8、证明所证不等式变形为：.这可认为是点到直线的距离．但因故点在圆上．如图所示:半径，即有：,所以练习1、证明令函数由，知在上是增函数.因为，所以，即.练习2、证明令因为所以在上是减函数，因为所以即所以，故例9、证明设则故当时，递增；当递减.则当时，从而证得