数学思想方法之特殊与一般学案.doc

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1、数学思想方法之特殊与一般学案　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2011年2月16日星期三引言：人们对一类新事物的认识往往是从这类事物中的个体开始的.通过对某些个例的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，逐渐形成对这类事物总体的认识，发现特点，掌握规律，形成共识，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，由实践到理论，这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识过程.但这并不是目的，还需要用理论指导实践，用所得到的特点和规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程是由一般到特殊的认识过程.于是这种由特殊到一般再由

2、一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程之一.数学研究也不例外，这种由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过程，就是数学研究中的特殊与一般的思想.在教学过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来，证明后，又使用它们来解决相关的数学问题，在数学中经常使用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想方法的集中体现，既然它是教学中经常使用的数学思想方法，那么也必然成为高考考查的重点.在高考中，会有意设计一些能集中体现特殊与一般思想的试题.我们曾设计过利用一般归纳法进行猜想的试题;

3、还着重体现选择题的特点，考查特殊与一般的思想方法，突出体现特殊化方法的意义与作用.通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点，确定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等，研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题、不确定的问题，等等.随着新教材的全面实施，高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般的思想必然成为今后命题改革的方向.课题　特殊与一般的思想关键词　特殊化　一般化　　　一、特殊与一般的思想和其它方法对比解析1．什么是特殊化思想对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转

4、变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.2．什么是一般化思想当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想.【例1】（０５）设三棱柱的体积为分别是侧棱上的点，且，则四棱锥的体积为（Ａ）　　（Ｂ

5、）　　（Ｃ）　　　（Ｄ）【分析及解】本题考查棱柱、棱锥的概念与计算.方法一　常规方法如图2-18,因为，所以将三棱柱的侧面分成面积相等的两个梯形，从而.又，且三棱柱被分成两个四棱锥与以及三棱锥三部分，所以.方法二　特殊化的方法.仔细分析题目的已知条件会发现，三棱柱的形态没给出具体限制，是一般的三棱柱；侧棱上的两点只有的要求，而没有具体位置的限制.从选项来看，所求四棱锥的体积是确定的.由此可以断定，用特殊化方法求解本题可以体现出快捷的特点.首先可以把三棱柱特殊化为直三棱柱，其次还可以将点分别为的中点；也可以使点趋近于

6、点，点趋近于点，即使，使四棱锥特殊化为三棱锥，实际上，这种处理方法也包含有极限的思想.经过特殊化处理后，再求解几何体的体积就要简单得多.除常规方法外的这两种特殊化方法所体现的正是特殊与一般的思想，用特殊的方法来解决一般的问题.【例2】（04）已知函数，若，则（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　　（Ｄ）【分析及解】为了说明本题所体现的出来的数学思想方法，我们先来看解决本题的三种方法.方法一　常规方法本题所研究的函数是确定的，其函数解析式已知且不含有参数.如果把看成是两个用字母表示的数，则它们也是确定的，已知的.于是由，得.

7、又，那么为求得的值，实际上就是求怎样用关于的解析式来表示，就是求与的关系.到此，不难发现，有，于是.方法二　一般化方法如果我们探究与的关系，产生猜想：如果是奇函数或偶函数，那么由的值求的值就会变得相当简单.具有奇偶性吗？的定义域为，关于原点对称.在定义域内任取和有.所以是定义域内的奇函数，于是.方法三　特殊化方法考虑到是选择题，是用字母表示的数，那么不妨取特殊值来进行研究.令，则，那么.比较四个选项后，便可得出，只有（Ｂ）成立.对于这样一个求函数值的常规问题，其解法中蕴涵着特殊与一般的思维方法.如果将方法一与方法二

8、相比较，方法一是对具体函数、具体函数值的研究，可以认为是对特殊问题的特殊研究.而方法二则是研究这个具体函数的一个一般性质，只要函数是奇函数，无论其解析式是否为，都有.这种研究问题的方法体现出的恰是由特殊到一般的思维方法.由特殊函数，研究它的一个性质，再由一般函数的性质，得出一般的结论.不过最终还要回到这个特殊函数上来，得出所求结果，又由一般回到了特殊.这种特