高等数学(考研要点复习_中).doc

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1、第三章：中值定理与导数的应用§3.1中值定理本节将运用微分学的两个基本定理，这些定理是研究函数在区间上整体性质的省力工具，为此，先介绍Rollo定理：Rollo定理：若函数f(x)满足：（i）f(x)在[a,b]上连续；（ii）f(x)在（a,b）可导，（iii）f(a)=f(b),则在（a,b）内至少存在一点，使得f()=0.证明：由（i）知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此时，又有二种情况：（1）M=m，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数

2、：f(x)＝M=m，＝0，因此，可知为（a,b）内任一点，都有f()＝0。（2）M>m,此时M和m之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设Mf(a)（对mf(a)同理证明），这时必然在（a,b）内存在一点，使得f()=M,即f(x)在点得最大值。下面来证明：f()=0首先由（ii）知f()是存在的，由定义知：f()=…….(*)因为为最大值，对有f(x)Mf(x)－M0,当x>时，有0当x<时，有0。又因为（﹡）的极限存在，知（﹡）极限的左、右极限都存在，且都等于，即，然而，又有和。注1：定理中的三个条件缺一

3、不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。2：定理中的点不一定唯一。事实上，从定理的证明过程中不难看出：若可导函数在点处取得最大值或最小值，则有。3：Rolle定理的几何意义：设有一段弧的两端点的高度相等，且弧长除两端点外，处处都有不垂直于轴的一切线，到弧上至少有一点处的切线平行于轴。【例1】设多项式的导函数没有实根，证明最多只有一个实根。二、Lagrange中值定理在Rolle定理中，第三个条件为(iii)，然而对一般的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改

4、变，这就是Lagrange中值定理：若函数满足：(i)在上连续；(ii)在上可导；则在内至少存在一点，使得。若此时，还有，。可见Rolle中值定理是Lagrange中值定理的一个特殊情况，因而用Rolle中值定理来证明之。证明：上式又可写为……(1)作一个辅助函数：……(2)显然，在上连续，在上可导，且，所以由Rolle中值定理，在内至少存在一点,使得。又或。注1：Lagrange中值定理是Rolle中值定理的推广；2：定理中的结论，可以写成，此式也称为Lagrange公式，其中可写成：……(3)若令……(4)3：

5、若，定理中的条件相应地改为：在上连续，在内可导，则结论为：也可写成可见，不论哪个大，其Lagrange公式总是一样的。这时，为介于之间的一个数，(4)中的不论正负，只要满足条件，(4)就成立。4：设在点处有一个增量，得到点，在以和为端点的区间上应用Lagrange中值定理，有即这准确地表达了和这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。5：几何意义：如果曲线在除端点外的每一点都有不平行于轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的联线。由定理还可得到下列结论：定理：如果在区间上的导数恒为0，则在上是

6、一个常数。证明：在中任取一点，然后再取一个异于的任一点，在以，为端点的区间上，满足：(i)连续；(ii)可导；从而在内部存在一点，使得又在上，，从而在上，，，所以，可见，在上的每一点都有：（常数）。二、Cauchy中值定理Cauchy中值定理：若满足：(i)在上连续；(ii)在内可导；(iii)在内恒不为0；(iv)；则在内至少存在一点，使得。证明：令，显然，在上连续，且在内可导，更进一步还有，事实上，所以满足Rolle定理的条件，故在内至少存在一点，使得，又因为，注1：Cauchy中值定理是Lagrange中值定

7、理的推广，事实上，令，就得到Lagrange中值定理；2：几何意义：若用（）表示曲线，则其几何意义同前一个。【例1】若函数在内具有二阶导数，且，其中，证明在内至少有一点，使得。【例2】若，证明。证明：对，取，，不难验证：满足Lagrange中值定理的条件，故在内至少存在一点，使满足，即由的任意性，知本题成立。注：条件“”可改为“”，结论仍成立。【例1】证明：。【例2】证明：若在上可导，且存在，则。§3、2法则在求或时，若发现同趋于0，或同趋于，则此时上述极限可能存在，也可能不存在。要根据具体的函数来进一步确定，如，

8、，我们通常把这种极限称为或型的未定式（不定式），这种未定式是不能用“商的极限等于极限的商”这一法则来计算的。【例】是型的未定式，若连续，则两增量之比的极限也是型的未定式。本节运用导数来求一般未定式的极限，这就是法则。定理：（法则）若满足：(i)；(ii)在的某去心邻域内可导，且；(iii)（可为有限数，也可为或）；则：。证明：由于函数在点的极限与函数在点的函