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1、不等式证明的基本方法·例题 例5-2-7 已知a,b,c∈R+,证明不等式:当且仅当a=b=c时取等号。解 用综合法。因a>0,b>0,c>0,故有三式分边相加,得当且仅当a=b=c时取等号。例5-2-8 设t>0。证明:对任意自然数n,不等式tn-nt+(n-1)≥0都成立,并说明在什么条件下等号成立。解 当n=1时,不等式显然成立,且取等号。当n≥2时,由幂分拆不等式,可得以下n-1个不等式:t2+1≥t+t,t3+1≥t2+t,…,tn-1+1≥tn-2+t,tn+1≥tn-1+t以上各式当且仅当t=1时取等号。把它们分边相加,得故
2、对任意n∈N,不等式获证。等号成立的条件是n=1,或t=1。注 ①在以上不等中令t=1+x(x>-1),即得著名的贝努利不等式(1+x)n≥1+nx例5-2-9 设a,b,c都是正数,证明不等式当且仅当a=b=c时取等号。分析 本例有多种精彩证法。根据对称性,可从左边一项、两项入手,当然也可根据平均值不等式或幂分拆不等式从整体入手。解 [法一] 从一项入手,适当配凑后由平均值不等式知三式分边相加,即得时,上式取等号。[法二] 从两入手,利用幂分拆不等式,有同理有三式分边相加,得[法三] 从整理入手,原不等式等价于进一步证明参考习题5-2-
3、7(1)解答。[法四] 由平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x,y,∈R+)的变式三式分边相加,得所以注 从证法4我们看到,利用平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x,式不等式,思路自然,简捷明快,颇具特色。例5-2-10 已知关于x的实系数方程x2+px+q=0有两个实数根α,β。证明:若
4、α
5、<2,
6、β
7、<2,则
8、q
9、<4,且2
10、p
11、>4+q。解 先证
12、q
13、<4,由韦达定理知
14、q
15、=
16、αβ
17、=
18、α
19、·
20、β
21、<2×2=4再证2
22、p
23、>4+q。欲证不等式即0≤2
24、α+β
25、<4+αβ。故只须证4(α+β)2<(4+αβ)2即 4α
26、+8αβ+4β2<16+8αβ+α2β2从而只须证16-4α2-4β2+α2β2>0即 (4-α2)(4-β2)>0由
27、α
28、<2,
29、β
30、<2,知α2<4,β2<4,故最后不等式成立,从而原不等式得证。例5-2-11 证明:若a,b,c是三角形的三边,则3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2<4(ab+bc+ca)当且仅当三角形为正三角形时,左边取等号。解 左边不等式等价于3(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)欲证此不等式成立,只须证ab+bc+ca≤a2+b2+c2即证2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+c
31、a)≥0左边配方即为(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0此不等式显然成立,当且仅当a=b=c,即三角形为正三角形时取等号。故左边不等式获证。欲证右边不等式,仿上只须证a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)从而只须证(ab+ac-a2)+(ab+bc-b2)+(bc+ca-c2)>0即证a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(b+a-c)>0由于a,b,c是三角形的三边,此不等式显然成立,故右边不等式获证。综上所述,原不等式得证。例5-2-12 设f(x)=x2+px+q(p,q∈R),证明:(2)若
32、p
33、+
34、q
35、<1,则f(x)
36、=0的两个根的绝对值都小于1。解 用反证法但是,
37、f(1)
38、+2
39、f(2)
40、+
41、f(3)
42、≥f(1)-2f(2)+f(3)=(1+p+q)-2×(4+2p+q)+(9+3p+q)=2 (ii)(i)与(ii)矛盾,故假设不成立,即原命题成立。(2)假设f(x)=0的两根x1,x2的绝对值不都小于1,不妨设
43、x1
44、≥1,那么由韦达定理,有
45、p
46、=
47、-(x1+x2)
48、=
49、x1+x2
50、≥
51、x1
52、-
53、x2
54、≥1-
55、x2
56、
57、q
58、=
59、x1x2
60、=
61、x1
62、·
63、x2
64、≥
65、x2
66、
67、两式分边相加,得
68、p
69、+
70、q
71、≥1这与题设矛盾,故假设不成立,即原命题得证。注 反证法的逻辑程序是:否定结论→推出矛盾→肯定结论。反证法常用于直接证明难于入手的命题,或结论中含“不存在”、“都是”、“都不是”、“至少”、“至多”、之类的存在性命题。
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