第二章 有限元法的基本概念.ppt

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1、平面问题和应力函数一、平面应力问题和平面应变问题平面应力问题：平面应变问题：z＝xz＝zy＝0x,y,xy(x,y)构件特征：受力特点：应力分量：应变分量：位移分量：xyzxyz平行于板面，板面上无载荷载荷与z轴垂直沿z轴不变yx＝zx＝0x,y,xy(x,y);zz＝yx＝zx＝0x,y,xy(x,y)u(x,y),v(x,y);wu(x,y),v(x,y);w=0x,y,xy(x,y)xz＝zy＝0,z＝m(x+y)平衡方程二、平面问题的基本方程几

2、何方程：物理方程应力边界条件平面应变问题：设物体中某点P(x,y,z)，位移分量为：u,v,w。应变分量为：几何方程：应变协调方程（相容方程）物理意义：如将变形体分解为许多单元体，每个单元体的变形可用六个应变分量表示，若应变分量不满足应变协调方程，则单元体不能组成一连续体。若满足，则可保证变形前后物体是连续的。利用应变协调方程可检验给定的应变状态是否为可能存在的？也可确定应变分量中的待定系数。平面问题的应变协调方程第二章有限元法的基本概念2.1有限元法的产生及应用有限元法(FiniteElementMe

3、thod，简称FEM)，又称有限单元法、有限元素法，它是随着大型高速数字电子计算机的出现而发展起来的一种有效的数值计算方法。传统的材料力学给出了某些计算位移和应力的解析公式。但它只能用于几种简单形体，而且在推导那些公式时用到一些基本假设。例如，等截面杆、简支梁、悬臂梁、轴等。有些用材料力学不能计算的问题如压力集中、深梁、板弯曲、厚壁圆筒等，可以用弹性力学理论来解释。如对于平板问题来说，矩形板、圆形板都能推导出计算公式，不规则形状的板就不能。2.1有限元法的产生及应用有限元法用离散化(discretiza

4、tion)的方法彻底地解决了这一问题。不管多么复杂的结构，总可以用一个离散化的模型来代替。整个结构被划分成有限个小的区域，称为单元，所划分的每个单元的几何形状是有一定规则的。先用弹性力学理论计算出每个单元的特性，然后再把各单元集合在一起形成完整的结构。用适当的方法对这个离散化的模型求解，就可以代替对原有结构的求解。真实的位移除了满足位移边界条件外，根据它们求得的应力还应满足应力边界条件和平衡微分方程。求解微分方程的边值问题，只有在简单的情况下，才能得到解析解。多数情况下，只能采用数值计算的方法。2.2有

5、限元法采用的变分原理在固体力学中，有限元法的应用都是根据变分原理来推导单元特性和有限元方程的。最常用的三种变分原理是：最小势能原理、余能原理和雷纳斯原理。采用不同的变分原理会得到不同的未知场变量。当采用势能原理时，必须假设单元内位移场函数的形式，这种有限元分析方法称为位移法或协调法；当采用余能原理时，必须假设单元内应力场的形式，这种方法称为力法或平衡法；当采用雷纳斯原理时，就必须同时假设某些位移和某些应力，这种方法称为混合法。2.2有限元法采用的变分原理关于变分概念微分是变量的增量，变分是函数的增量，通

6、常用δ表示。我们学习变分方法的意义，主要因为它是学习有限元等数值方法的基础。设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移为u,v,w，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件和用位移表示的应力边界条件。弹性体受力后，发生变形，外力作功，外力功转化为变形能，储存在弹性体内，单元体内的变形能为变形能与最小势能原理或整个弹性体内的变形能为应变余能的概念以一维应力状态为例，U0实际是应力应变曲线下的面积（不限于线弹性）定义为单位体积的应变余能，在一维情况下为εxσxdεxOdσx应变余能没有

7、明显的物理意义，在一维情况下，表示应力应变曲线在应力一侧下的面积。1应变余能与应变能互补2应变余能的积分式中，积分变量为应力分量3在线弹性时，应变余能与应变能相等εxσxdεxOdσx最小势能原理的意义弹性体在外力的作用下，发生位移，产生变形。位移可以是各种各样的，但必须满足位移的边界条件。满足位移边界条件的位移称为容许位移，容许位移也有无穷多组，其中只有一组是真实的，真实位移除了满足位移边界条件外，根据它们求得的应力还应满足应力边界条件和平衡微分方程。变分法为数值计算提供了理论基础。其中最小势能原理指

8、出：在无穷多组的容许位移中，使弹性体总势能为最小的一组位移，就是我们要找的位移，根据它们求得的应力还满足应力边界条件和平衡微分方程。在无穷多组的容许位移中找到这一组，就必须求解微分方程的边值问题，很可惜，只有在简单的情况下，才能得到解析解。多数情况下，只能采用数值计算的方法。变分方法从能量角度分析，提供了解决问题的另一种思路，为数值计算奠定了理论基础。例如在两端固定的柔索，可以有各种形状，但只有一种是真实的，这一种使得柔索的总势能为最小。最