线性代数第二章(同济大学)2-习题课

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1、主要内容典型例题第二章　矩阵及其运算习题课矩阵特殊矩阵概念定　　　　　　　义方阵　行（列）矩阵同型矩阵和相等矩阵零矩阵　　单位矩阵转置矩阵（反）对称矩阵幂等矩阵对合矩阵正交矩阵伴随矩阵对角矩阵上（下）三角矩阵方阵的运算逆矩阵定义相关定理及性质分块矩阵方阵的幂方阵的行列式矩阵相乘数乘矩阵运算及其性质矩阵相加１　矩阵的定义对(1)式，当m=n时，A称为n阶方阵。２　方阵　列矩阵　行矩阵两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。３　同型矩阵和相等矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。主对角线上

2、的元素都是1，其它元素都是0的n阶方阵，叫做n阶单位阵，简记作E。４　零矩阵　单位矩阵运算规律交换律A+B=B+A结合律　(A+B)+C=A+(B+C)５　矩阵相加运算规律６　数乘矩阵７　矩阵相乘运算规律n阶方阵的幂８　方阵的运算方阵的行列式运算规律转置矩阵９　一些特殊的矩阵对称矩阵反对称矩阵幂等矩阵对合矩阵正交矩阵对角矩阵上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵。下三角矩阵主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵。伴随矩阵定义设A为n阶方阵，如果存在矩阵B，使AB=BA=E，则称矩阵A

3、是可逆的（或非奇异的、非退化的、满秩的），且矩阵B称为A的逆矩阵。１０　逆矩阵相关定理及性质矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证。分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似。１１　分块矩阵例１计算一、矩阵的运算解解由此得例２例３解方法一用定义求逆阵二、有关逆矩阵的运算及证明注：依定义求A的逆，实质上是求解n个系数相同而常数项分别为单位矩阵的各列的n元方程组。方法二注：此法仅适用于二阶矩阵，对二阶以上的矩阵不适用。例４解矩阵方程AX=B，XA=B，AXB=C，其中A、B均为可逆矩阵。分析矩阵方程解A

4、X=BXA=BAXB=C证例５三、矩阵的分块运算同理可得：设A，B均可逆，对分块矩阵D：例6解（１）根据分块矩阵的乘法，得（２）由（１）可得第二章测试题1、填空题2、设A，B均为n阶方阵，且证明A可逆，并求其逆.3、设n阶实方阵,且证明A可逆.4、解下列矩阵方程5、求下列矩阵6、设求B.7、设n阶矩阵A的伴随矩阵为,证明:8、用分块矩阵的乘法，计算矩阵的乘积AB：9、利用逆矩阵求解线性方程组