五年级下册数学专项训练奥数第十四讲递推方法全国版(含答案).docx

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1、第十四推方法推方法是人从开始数量关系就很自然地生的一种推理思想.例如自然数中最小的数是1，比1大1的数是2，接下来比2大1的数是3，⋯由此得到了自然数数列：1，2，3，4，5，⋯.在里上就有了一个推公式，假第n个数an，an+1=an+1即由自然数中第n个数加上1，就是第n+1个数。由此可得an＋2=an＋1＋1，就可以得到自然数数列中任何一个数再看一个例子：例1平面上5条直最多能把的内部分成几部分？平面上100条直最多能把的内部分成几部分？解：k条直最多能把的内部分成的部分数.里k＝0，1，假用a表示k2，⋯.如可。0＝1aa

2、1=a0+1＝221＋2=4a=a32a=a＋3=7a4=a3+4＝11出推公式an＋1＝an+n.（1）即画第n＋1条直，最多增加n部分.原因是的：第一条直最多把分成两部分，故a1＝2.当画第二条直要想把内部分割的部分尽可能多，就和第一条直在内相交，交点把第二条直在内部分分成两条段，而每条段又把原来的一个区域划分成两个区域，因而增加的区域数是2，正好等于第二条直的序号.同理，当画第三条直，要想把内部分割的部分数尽可能多，它就和前两条直在内各有一个交点.两个交点把第三条在内部分成三条段.而每条段又把原来一个区域划分成两个区域.因

3、而增加的区域部分数是3，正好等于第三条直第1页的序号，⋯.个道理适用于任意多条直的情形.所以推公式（1）是正确的.就易求得5条直最多把内分成：a5=a4+5＝11=5＝16（部分）。要想求出100条直最多能把内分成多少区域，不能直接用上面公式了，可把上面的推公式形：∵an=an-1+n=nn-2＋（n-1）＋n=an-3+（n-2）＋（n-n）+n公式（2）也称数列1，2，4，7，11，16，⋯的通公式.一般来，如果一个与自然数有关的数列中的任一an可以由它前面的k（≤n-1）运算或其他方法表示出来，我就称相之有关系，并称个数列

4、数列.如果种推算方法能用公式表示出来，就称种公式推公式或推关系式.通求关系来解决的方法就称推方法.多与自然数有关的数学都常常具有推关系，可以用推公式来表达它的数量关系.如何求个推公式是解决的关之一，常用的方法是“退”到最情况开始察.逐步并猜想一般的速推公式.在小学生段，我要求学生能开的一些表面象由到繁地出的推公式就行了，不要求格明.当然能明更好.所明，就是要格推出你建立的关系式适合所有的n，有，在前面几成立的关系式，不一定当n大也成立。例2平面上10个两两相交的最多能将平面分割成多少个区域？平面上1993个最多能将平面分割成多少

5、个区域？解：平面上k个最多能将平面分割成ak部分.我先“退”到最的情形.如可a1=2，a2=4＝2＋2×1，a3＝8=4＋2×2，a4=14=8+2×3，an=an-1+2（n-1）.（3）（3）是个的推公式.再把它形当n大也能方便求出果的公式：an＝an-1+2（n-1）第2页＝an-2+2[（n-2）+（n-1）]＝an-3＋2[（n-3）+（n-2）+（n-1）]＝⋯=a1+2（1+2+3+⋯+n-2+n-1）∴a10=102-10+2=92（个），a1993=19932-1993＋2=3970058（个）。关于个推公式成

6、立的正确性分析与例1完全似.比如，第一个然将平面分两个区域；当画第二个，与原来的一个有两个交点，即被第一个截成两段弧，而每一段弧将原来的每一个区域分成两个区域，故区域数增加了2，即增加了原来的个数的2倍；当画第三个，与原来的两个共有4个交点，弧被截成4段，而每段弧又将原来的每个区域分成两个区域，所以区域增加了4，即原来的个数的2倍，⋯，同理推，明推公式是an=an-1+2（n-1）。例3在一个周上按下面上一些数:第一次先把周二等分三次把4段弧分二等分，并在4个分点旁上两个相分点旁所去，当第八次完数以后，周上所有已的数的和是多少？

7、解：解：我一般地第一次所的两数分a、b，用Sk表示第k次完后各分点所数的和.如可S1＝a＋b，S2＝S1+2S1＝3S1＝3（a＋b）。原因是的：S2是两分点旁的数和，一是原来分点所数的和S1，另一是新增分点所数的和，它正好是由原来各分点所的数向左加一次，又向右加一次的和，故新增分点旁所数的和恰好是原来所有数之和的2倍2S1，因此有第3页S2=S1＋2S1=3S1，同理推S3=S2+2S2＝3S2=32S1，S4＝32S1＋2×32S1＝32S1，Sn=3n-1S1=3n-1（a＋b）（4）（4）式推公式：Sn＝3Sn-1在S1

8、=a＋b已解出的表达式.所解出，即Sn直接依于n与S1而算出.不再是Sn依于Sn-1，Sn-1又依于Sn-2⋯的形式。例4假出生的雌雄一小兔两个月就能生下雌雄一小兔，此后每月生下一小兔.如果养了初生的一小兔，一年共可得多少兔子？解：我先退到开始的情况来推算，从中