2022届高考数学统考一轮复习课后限时集训19利用导数解决函数的单调性问题理含解析新人教版.doc

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1、课后限时集训(十九)　利用导数解决函数的单调性问题建议用时：40分钟一、选择题1．(2020·南阳模拟)已知函数f(x)＝x2－5x＋2lnx，则函数f(x)的单调递增区间是(　　)A．和(1，＋∞)B．(0,1)和(2，＋∞)C．和(2，＋∞)D．(1,2)C　[函数f(x)＝x2－5x＋2lnx的定义域是(0，＋∞)．f′(x)＝2x－5＋＝＝，令f′(x)＞0，解得0＜x＜或x＞2，故函数f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)．]2．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，1]B．(－∞，1)C．(

2、－∞，2]D．(－∞，2)C　[f′(x)＝6x2－6mx＋6，由已知条件知x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立．设g(x)＝6x2－6mx＋6，则g(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立．即m≤x＋在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝x＋，则h(x)在(1，＋∞)上是增函数，∴h(x)＞2，从而m≤2，故选C．]3．函数f(x)＝x2＋xsinx的图象大致为(　　)A　　　　　　　　　BC　　　　　　　　　DA　[函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＋(－x)sin(－x)＝x2＋xsinx＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，排除B．又f′(x)＝2x＋si

3、nx＋xcosx＝(x＋sinx)＋x(1＋cosx)，当x＞0时，x＋sinx＞0，x(1＋cosx)≥0，∴f′(x)＞0，即函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故选A．]4．设函数f(x)＝x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)A．(1,2]B．(4，＋∞)C．(－∞，2)D．(0,3]A　[因为f(x)＝x2－9lnx，所以f′(x)＝x－(x＞0)，由x－≤0，得0＜x≤3，所以f(x)在(0,3]上是减函数，则[a－1，a＋1]⊆(0,3]，所以a－1＞0且a＋1≤3，解得1＜a≤2.]5．设f(x)，g(x)是定义在

4、R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时，有(　　)A．f(x)g(x)＞f(b)g(b)B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)C．f(x)g(b)＞f(b)g(x)D．f(x)g(x)＞f(a)g(a)C　[令F(x)＝，则F′(x)＝＜0，所以F(x)在R上单调递减．又a＜x＜b，所以＞＞.又f(x)＞0，g(x)＞0，所以f(x)g(b)＞f(b)g(x)．]6．已知函数f(x)＝xsinx，x1，x2∈，且f(x1)＜f(x2)，那么(　　)A．x1－x2＞0B．x1＋x2＞0C．x－x＞0D．x－x＜0D　[f′(

5、x)＝sinx＋xcosx，当x∈时f′(x)＞0，即f(x)在上为增函数．又f(－x)＝－xsin(－x)＝xsinx＝f(x)，所以f(x)为偶函数．f(x1)＜f(x2)⇔f(

6、x1

7、)＜f(

8、x2

9、)⇔

10、x1

11、＜

12、x2

13、⇔x－x＜0，故选D．]二、填空题7．若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．(－3,0)∪(0，＋∞)　[由题意知f′(x)＝3ax2＋6x－1，由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)有两个不相等的零点，所以3ax2＋6x－1＝0需满足a≠0，且Δ＝36＋12a＞0，解得a＞－3且a≠0

14、，所以实数a的取值范围是(－3,0)∪(0，＋∞)．]8．若函数f(x)＝lnx－ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．(－1，＋∞)　[f′(x)＝－ax－2＝，由题意知f′(x)＜0有实数解，∵x＞0，∴ax2＋2x－1＞0有实数解．当a≥0时，显然满足；当a＜0时，只需Δ＝4＋4a＞0，∴－1＜a＜0.综上知a＞－1.]9．(2020·海淀区模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)＋1＞0，f(1)＝4，则不等式f(x)＞＋3的解集为________．(1，＋∞)　[由x2f′(x)＋1＞0得f′(x)＋＞0，构造函数

15、g(x)＝f(x)－－3，则g′(x)＝f′(x)＋＞0，即g(x)在(0，＋∞)上是增函数．又f(1)＝4，则g(1)＝f(1)－1－3＝0，从而g(x)＞0的解集为(1，＋∞)，即f(x)＞＋3的解集为(1，＋∞)．]三、解答题10．已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．[解]　(1)由题意得f′(x)＝，又因为f′(1)＝＝0，故k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝，设h(x)＝－lnx－1(x＞0)，则h