特殊四面体及其性质1.doc

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1、第十讲:特殊四面体及其性质一．四面体性质1．四面体的射影定理：如果设四面体ABCD的顶点A在平面BCD上的射影为O，△ABC的面积为S1，△ADC的面积为S2，△BCD的面积为S3，△ABD的面积为S4，二面角A-BC-D为θ1-3，二面角A-DC-B为θ2-3，二面角A-BD-C为θ3-4，二面角C-AB-D为θ1-4，二面角C-AD-B为θ2-4，二面角B-AC-D为θ1-2，则S1=S2cosθ1-2+S3cosθ1-3+S4cosθ1-4S2=S1cosθ1-2+S3cosθ2-3+S4cosθ2-4ABDCOS1S2S3S4S3=S1cos

2、θ1-3+S2cosθ2-3+S4cosθ3-4S4=S1cosθ1-4+S2cosθ2-4+S3cosθ3-42．性质2(类似余弦定理)S12=S22+S32+S42-2S2S3cosθ2-3-2S2S4cosθ2-4-2S3S4cosθ3-4S22=S12+S32+S42-2S1S3cosθ1-3-2S1S4cosθ1-4-2S3S4cosθ3-4S32=S12+S22+S42-2S1S2cosθ1-2-2S1S4cosθ1-4-2S2S4cosθ2-4S42=S12+S22+S32-2S1S2cosθ1-2-2S1S3cosθ1-3-2S2S3

3、cosθ2-3特别地，当cosθ1-2=cosθ1-4=cosθ2-4=0，即二面角C-AB-D、C-AD-B、B-AC-D均为直二面角（也就是AB、AC、BC两两垂直）时，有S32=S12+S22+S42，证明：S32=S3S1cosθ1-3+S3S2cosθ2-3+S3S4cosθ3-4       =S1S3cosθ1-3+S2S3cosθ2-3+S3S4cosθ3-4       =S1（S1-S2cosθ1-2+S4cosθ1-4）+S2（S2-S1cosθ1-2+S4cosθ2-4）+           S4（S4-S1cosθ1-4+

4、S2cosθ2-4）       =S12+S22+S42-2S1S2cosθ1-2-2S1S4cosθ1-4-2S2S4cosθ2-43.任意四面体都有内切球及外接球。二．正四面体及其性质1.定义:所有棱长相等的四面体.它可由正方体截去四个三棱锥后得到。2.正四面体与正方体的关系正四面体可由正方体截去四个三棱锥后得到.若设正方体的棱长为′,正四面体的棱长为，则正四面体内接于一正方体，且a=′3.性质:设正四面体的棱长为，则这个正四面体的(1)全面积S全=；(2)体积V=；(3)对棱中点连线段的长d=；(此线段为对棱的距离，即为外解正方体的面对角线长

5、;若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径);(4)相邻两面所成的二面角 =;(5)对棱互相垂直。(6)侧棱与底面所成的角为=;(7)外接球半径 R=；(8)内切球半径 r=.其中r:R=1:3.(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).利用上述结论可迅速解决如下各题:例1.正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等()(90年全国高考试题)(A)90°（B）60°（C）45°（D）30°分析：本题若仔细观察已知条件，易知S-ABC为正四面体。

6、而一正四面体必可补成正方体（如图2)，显然，EF在正方体的两底面的中心连线上，与正方体的侧棱SD平行，由∠ASD=45°，知选(C).例2.棱长为2的正四面体的体积为_____________.(98年上海高考题)本题若直接计算,有一定的难度与计算量,若利用上述习题结论,将其补成正方体,可取得事半功倍之效.解:将该正四面体补成正方体,由正四面体的棱长为2,易知正方体的棱长为.故V正方体=()3=2∴V正四面体=V正方体=。例3.一个球与正四面体的6条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积为__________.(2000年全国高中数学竞赛试题

7、)本题所给的参考答案较复杂,若能把正四面体补成正方体，然后再利用正四面体的棱切球半径等于正方体的内切球半径解决,就会有意想不到的解题功效.解:(如图)将正四面体补成正方体,由上述结论可知正四面体的棱切球即为正方体的内切球.∵正四面体的棱长为a;∴正方体的棱长为a;∴正方体的内切球半径r=a.∴V棱切球=πr3=π×(a)3=a3.例4.如图S-ABC是一体积为72的正四面体,连接两个面的重心E、F，则线段EF的长是____.(2000年春季高考题)分析：连接SE、SF延长分别交AB、BC于G、H，易知EF=GH=AB，故只需求出正四面体的棱长即可，本

8、题若直接由体积求棱长有一定的难度，若根据习题结论①②，先把正四面体补成正方体，则V正方体=3V正四面体=21