函数与方程的数学思想在解题中的运用 (2).doc

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1、函数与方程的数学思想在解题中的运用 　　函数描述了自然界中量与量之间的依存关系，它从量的方面刻画了宏观世界的运动变化、相互联系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画．变量是函数的基础，对应(映射)是函数的本质。　　函数思想，就是用运动和变化的观点，分析和研究自然界中具体问题量的依存关系，剔除问题中的非数学因素，抽象其数学特征，用函数的形式把这种数量关系表示出来，并加以研究，运用函数的性质使问题获得解决的思想。　　与函数思想相联系的就是方程的思想。方程的思想，是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值

2、，使问题获得解决，这就是方程的方法。所设的未知数，沟通了变量之间的联系。方程可以看作未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁。　　中学数学，特别是中学代数，可谓是以函数为中心(纲)，集合的学习，为求函数定义域和值域打下了基础；映射的引入，使函数的核心——对应法则更显现其本质；单调性、奇偶性、周期性的研究，是对映射更深入更细致的刻画；函数与反函数的研究，辩证地全面地看待事物之间的制约关系。各种具体函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以及由它们通过有限次的加减乘除和简单的复合构成了初等函数：代数函数与超越函数；代数函数中，正比例函数、反比例函

3、数、一次函数、二次函数、多项式函数、有理分式函数等等琳琅满目。数列也可以看成是特殊的函数。解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点；解不等式f(x)＞0或f(x)＜O，就是求函数y=f(x)取正值、负值的区间；对函数解析式f(x)的研究为研究y=f(x)的分类、性质奠定了基础。函数的图象，从另一个方面刻画了函数的本质，单调性与升降，奇偶性与对称，定义域、值域与图象展布范围，最大值和最小值与最高点最低点的坐标，周期性与图象的重复出现…，以函数为纲，就带动起了高中代数的“目”．函数极限的研究，导数、微分、积分的研究，也完全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握幂函数、指数函数

4、、对数函数、二次函数、三角函数等基本初等函数的图象和性质，是应用函数思想解题的基础。善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。一句话，抓住了函数，就牵起了中学代数的“牛鼻子”。　　例1． 已知(1-2x)7=a0+alx+a2x2+…+a7x7，求al+a2+…+a7= ______.　　分析：此题可应用二项展开式定理展开求出a1，a2，…，a7然后求和去做，但运算量大，十分麻烦，且易出错．如果用函数思想和整体性思想看问题，视(1-2x)7为以x为自变量的一元多项式函数f(x)，把离散的问题转化为连续的问题，利用赋特殊值法，可以使问题的解决变得十分巧妙。　　解

5、：设f(x)=(1-2x) 7=a0+alx+a2x2+…+a7x7，　　则f(0)=1=a0，f(1)=(1-2)7=-l=a0+a1+a2+…+a7，　　∴al+a2+……+a7=-1-a0=-2．　　例2． 如果二次函数f(x)=x2+px+q满足f(x+1)=f(1-x)，x∈R6，试比较f(sinπ/7)和f( sinπ/5)的大小。　　解：由f(x+1)=f(1+x)=f(1-x)，x∈R，得函数f(x)的图象的对称轴方程为x=(1+x+1-x)/2即x=1．又x2项的系数为1＞0，故抛物线开口向上，函数f(x)在(-∞，1]上为减函数。　　∵0＜π/7＜π/5＜

6、π/2，∴0＜sinπ/7＜sinπ/5＜1，∴f(sinπ/7)＞f(sinπ/5)．　　评注：本题的解决用到了正弦函数和二次函数的单调性，思维十分顺畅。　　例3　已知T1=(1/2) 1/3，T2=(1/5) 1/3，T3=(1/2) 2/7，下列关系式中正确的是（　　 )。　　(A)Tl＜T2＜T3 (B)T3＜Tl＜T2 (C)T2＜T3＜Tl (D)T2＜T1＜T3　　分析与解：这类几个实数值(幂值)比较大小的问题，解决它的关键是建立与之相应的函数模型，然后利用函数的单调性比较大小。观察比较题设的三个数值的底数和指数特征。T1与T3的底数相同而指数不同，T1与T2的

7、指数相同但底数不同。这样，构造指数函数y=(1/2) x和幂函数y=x1/3.对于T1与T3，因为指数函数y=(1/2) x在(-∞，+∞)上是减函数，而1/3=2/6＞2/7，所以T3＞T1；对于Tl和T2，因为幂函数y=x1/3在第一象限内是增函数，而1/2＞1/5，所以T1>T2．因此T2＜T1＜T3，故选(D)．　　例4．若关于x的方程cos2x+sinx+a=0有实数解，求实数a的取值范围．　　分析与解：利用二倍角公式将原方程变形为　　1-2sin2x+sinx+a=0，即 2sin2x-si